已知函数 $f(x)$ 定义域为 $\mathrm{R}, f(x+1)$ 是奇函数, $g(x)=(1-x) f(x)$, 函数 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上递增, 则 下列命题为真命题的是
$\text{A.}$ $f(-x-1)=-f(x+1)$
$\text{B.}$ 函数 $g(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上递减
$\text{C.}$ 若 $a < 2-b < 1$, 则 $g(1) < g(b) < g(a)$
$\text{D.}$ 若 $g(a)>g(a+1)$, 则 $a < \frac{1}{2}$