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试卷2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设

X_{1}

X_{2}

为来自总体

(μ, σ^{2})

的简单随机样本,其中

σ (σ > 0)

是未知参数,若

\hat{σ} = a | X_{1} - X_{2} |

为

σ

的无偏估计,则

a =

A.

\frac{\sqrt{π}}{2}

B.

\frac{\sqrt{2 π}}{2}

C.

\sqrt{π}

D.

\sqrt{2 π}

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2. 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本, 则下列统计量中, ( ) 为

μ

的无偏估计且方差最小.

A.

\frac{1}{2} X_{1} + \frac{1}{3} X_{2} + \frac{1}{6} X_{3}

B.

\frac{1}{3} X_{1} + \frac{1}{3} X_{2} + \frac{1}{3} X_{3}

C.

\frac{1}{5} X_{1} + \frac{2}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{3}

D.

\frac{1}{7} X_{1} + \frac{2}{7} X_{2} + \frac{3}{7} X_{3}

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

E (X) = θ

. 检验

H_{0} : θ = 0

;

H_{1} : θ \neq 0

, 且拒绝域

W_{1} = {| \bar{X} | > 1}

和

W_{2} = {| \bar{X} | > 2}

分别对应显著性水平

α_{1}

和

α_{2}

, 则

A.

α_{1} = α_{2}

B.

α_{1} > α_{2}

C.

α_{1} < α_{2}

D.

α_{1}

和

α_{2}

的大小关系不确定.

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4. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2}), X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 已知

k \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

为

σ^{2}

的无偏估计量, 则

k =

A.

\frac{1}{n}

B.

\frac{1}{2 n}

C.

\frac{1}{2 (n - 1)}

D.

\frac{1}{n - 1}

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5. 设总体

X

的分布律为

P {X = (- 1)^{n} n + p} = \frac{1}{n (n + 1)}, n = 1, 2, \dots

, 其中

p

为未知参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值, 则

p

的矩估计量

\hat{p} =

A.

\bar{X} - \ln 2

B.

\bar{X} + \ln 2

C.

\bar{X} - \ln 2 + 1

D.

\bar{X} + \ln 2 - 1

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6. 一) 在假设检验中, 显著性水平

α

的意义是

A.

原假设

H_{0}

成立, 经检验被拒绝的概率

B.

原假设

H_{0}

成立, 经检验被接受的概率

C.

原假设

H_{0}

不成立, 经检验被拒绝的概率

D.

原假设

H_{0}

不成立, 经检验被接受的概率

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} (a + 1) x^{a} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{array}

其中

a > - 1

为末知参数,

(X_{1}, \dots, X_{n})

是从总体

X

中抽取的一个样本, 求

a

的矩估计量.

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8. 设

X_{1}, X_{2}, L, X_{n}

为取自总体

N (μ, σ^{2})

的一个样本, 其中

μ \in R, σ > 0

均末知,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

分别表示样本均值和样本方差, 则对于给定的常数

α (0 < α < 1)

, 区间

[\bar{X} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{α / 2} (n - 1), \bar{X} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{α / 2} (n - 1)]

包含

μ

的概率是

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9. 设总体

X

的分布函数为

F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- (x - θ)^{2}}, & x ⩾ θ, \\ 0, & x < θ \end{cases} (θ > 0

为末知参数

), X_{1}, X_{2}, \dots

X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

, 则

θ

的矩估计量

\hat{θ} =

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10. 设

X_{1}, X_{2}

是来自正态总体

N (μ, 1)

的样本，下列三个估计量是不是参数

μ

的无偏估计量，若是无偏估计量，试判断哪一个较优?

\begin{matrix} \hat{μ_{1}} = \frac{2}{3} X_{1} + \frac{1}{3} X_{2}, {\hat{μ}}_{1} = \frac{1}{4} X_{1} + \frac{3}{4} X_{2}, \\ {\hat{μ}}_{1} = \frac{1}{2} X_{1} + \frac{1}{2} X_{2} . \end{matrix}

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11. 设

ξ \sim f (x, θ) = {\begin{array}{cc} \frac{1}{θ} e^{- \frac{x}{θ}}, & x > 0 \\ 0, & 其它 \end{array} (θ > 0)

，

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为

ξ

的一组观察值，求

θ

的极大似然估计

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12. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自期望为

θ

的指数分布的简单随机样本,

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

是来自期望为

2 θ

的指数分布的简单随机样本,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

相互独立, 求

θ

的最大似然估计量

\hat{θ}

, 并求

D (\hat{θ})

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13. 在单边假设检验中, 原假设为

H_{0} : μ \leq μ_{0}

, 则其备择假设为

H_{1}

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14. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

未知,

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为其样本. 若假设检验问题为

H_{0} : μ = μ_{0}, H_{1} : μ \neq μ_{0}

, 则采用的检验统计量表达现应为

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15. 某电子元件的使用寿命

X

(单位: 小时) 服从参数为

λ

的指数分布, 其概率密度为

f (x; λ) = {\begin{cases} λ e^{- λ x}, & x > 0, \\ 0, & x \leq 0, \end{cases}, λ > 0

. 现抽取

n

个电子元件, 测得其平均使用寿命

\bar{x} = 1000

,求

λ

的极大似然估计.

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三、解答题（共 25 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{6 x}{θ^{3}} (θ - x) & 0 < x < θ \\ 0 & 其它 \end{array},

其中

θ > 0

是末知参数,

(X_{1}, \dots, X_{n})

是从该总体中抽取的一个样本.
(1). 求末知参数

θ

的矩估计

\hat{θ}

;
(2). 求

D (\hat{θ})

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17. 已知总体

X

的分布律为

其中

0 < θ < 1

是末知参数,

(X_{1}, X_{2}, X_{3})

是从中抽取的一个样本, 试求当样本观测值为

(x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 1)

时, 参数

θ

的最大似然估计值.

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18. 设总体

X

的概率密度

f (x; θ) = {\begin{cases} 1, & θ - \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ θ + \frac{1}{2}, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

- \infty < θ < + \infty . X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为取自总体

X

的简单随机样本, 并记

X_{(1)} = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}, X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}} .

(1) 求参数

θ

的矩估计量

{\hat{θ}}_{M}

和最大似然估计量

{\hat{θ}}_{L}

;
(2) 判断

\frac{X_{(1)} + X_{(n)}}{2}

是否为

θ

的无偏估计量, 并说明理由.

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19. 设总体

X

的概率密度函数为

f (x; θ) = {\begin{array}{cc} a θ x^{a - 1} e^{- θ x^{a}}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{array}

, 若

θ > 0

为末知参数,

a

是已知常数, 若

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是总体

X

的简单随机样本, (I) 求参数

θ

的最大似然估计

\hat{θ}

, (II) 在

a = 1

时，考察

{\hat{θ}}^{- 1}

是否为

θ^{- 1}

的无偏估计

E ({\hat{θ}}^{- 1})

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20. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的样本,

X

的密度函数为

f (x; θ) = {\begin{matrix} θ x^{0 - 1}, 0 < x < 1 \\ 0, 其他 \end{matrix}

, 其中

θ > 0

, 求
㟥数

θ

的最大似然估计

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21. 已知随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}

独立同分布且均服从

U (0, 1)

, 令

Y = X_{1} \cdot X_{2} \dots X_{100}

, 求

Y < e e^{- 80}

的概京的近似值.

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22. 设总体

X

服从参数为

p

的几何分布，其中

0 < p < 1

为末知参数,

X_{1}, X_{2}, K, X_{n}

为取自该总体的样本,

x_{1}, x_{2}, L, x_{n}

为相应的样本观测值.
1. 求参数

p

的矩估计: 2 . 求

p

的最大似然估计.

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23. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} (θ + 1) x^{θ}, & 0 < x < 1 \\ 0, & 其他 \end{array}

其中

θ > - 1

是末知参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来白总体的一个简单随机样本,

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为样本值, 求

θ

的矩估计量和极大似然估计量.

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24. 设随机变墨

X

在

(1, 4)

上服从均匀分布, 当

X = x (1 < x < 4)

时, 随机变量

Y

的条件密度函数为

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = {\begin{cases} \frac{3 y^{2}}{x^{3}}, & 0 < y < x, \\ 0, & 其他. \end{cases}

(1) 求

Y

的密度函数;
(2) 求

X, Y

的相关系数;
(3) 令

Z = X - Y

, 求

Z

的分布函数.

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25. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{θ} x^{\sqrt{θ} - 1} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{cases}

其中

θ > 0

是末知参数，

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

是从该总体中抽取的一个样本. 求

θ

的最大似然估计量.

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26. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2}), (X_{1}, X_{2}, \dots

X_{n})

是从总体

X

中抽取的一个简单随机样本.

\bar{X}

与

S^{2}

分别表示样本均值与样本方差. 令

T = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

，求

E (T)

，并指出统计量

T

是否为

μ^{2}

的无偏估计量.

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27. 设总体

X

的概率密度函数为

f (x) = {\begin{cases} α e^{- α (x - β)}, & x ⩾ β, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

α

为已知正常数,

β

为末知正参数,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本.
(I) 求

β

的最大似然估计量

\hat{β}

;
(II) 判断

\hat{β}

是否为无偏估计.

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28. 设总体

X \sim F (x; θ) = {\begin{cases} 0, x < 1, \\ θ, 1 ⩽ x < 2, \\ 2 θ, 2 ⩽ x < 3, \\ 1, x > 3 \end{cases} (0 < θ < \frac{1}{2})

, 一个来自总体

X

的简单随机样本的经验
分布函数

F_{8} (x)

的观察值为

F_{8} (x) = \frac{1}{8} {\begin{cases} 0, x < 1 \\ 3, 1 ⩽ x < 2 \\ 5, 2 ⩽ x < 3 \\ 8, x ⩾ 3 \end{cases}

, 求

θ

的矩估计值和极大似然估计值。

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29. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} 2 (x - θ) e^{- (x - θ)^{2}}, & x > θ, \\ 0, & x ⩽ θ, \end{cases} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为来自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求参数

θ

的矩估计量;
(2) 设

U = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

, 求

E (U)

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30. 设总体

X

的概率密度函数为

f (x; θ) = {\begin{cases} \frac{2 x}{θ^{2}}, 0 < x < θ, \\ 0, 其他, \end{cases} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为来自总体

X

的简单随机样本.
(I) 求参数

θ

的矩估计量

{\hat{θ}}_{1}

, 判断其无偏性;
(II) 求参数

θ

的最大似然估计量

{\hat{θ}}_{2}

;
(III) 求 (II) 中

{\hat{θ}}_{2}

的概率密度函数.

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31. 设总体

X

的概率分布如下表, 其中

0 < θ < 1

为未知参数. 现从此总体中随机抽取 100 个样本, 发现有 17 个样本取值为 0,33 个样本取值为 1,50 个样本取值为 2 .

(1) 求

θ

的矩估计

{\hat{θ}}_{1}

和极大似然估计

{\hat{θ}}_{2}

; 并分别计算相应的估计值。
(2)

{\hat{θ}}_{1}

和

{\hat{θ}}_{2}

是否是无偏的? 若否, 请修正。
(3) 请问修正后的估计那个更有效?

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32. 为比较甲和乙两处矿石的含灰率(\%), 分别从甲、乙两处随机抽取矿石6块, 甲处矿石含灰率数据是:

17, 14, 18, 13, 19

和 15 ; 而乙处矿石含灰率数据为:

16, 19, 20

, 22,18 和 19 . 假设两处矿石含灰率分别服从正态分布, 且总体独立, 均值和方差未知.试根据以上数据判断:
(1)(6 分) 在显著水平 0.05 下, 甲、乙两处矿石含灰率的方差是否相等?
(2)(9 分) 在显著水平 0.05 下, 乙处矿石含灰率的平均量是否显著地高于甲处矿石含灰率的平均量?

附录分位数:

u_{0.025} = 1.960, u_{0.05} = 1.645, t_{0.025} (10) = 2.228, t_{0.05} (10) = 1.812, t_{0.025} (11) =

2.201, t_{0.05} (11) = 1.796, t_{0.025} (12) = 2.178, t_{0.05} (12) = 1.782, χ_{0.05}^{2} (1) = 3.841, χ_{0.05}^{2} (2) =

5.991, χ_{0.05}^{2} (6) = 12.591, F_{0.05} (5, 5) = 5.050, F_{0.025} (5, 5) = 7.146, F_{0.05} (6, 6) = 4.284

F_{0.025} (6, 6) = 5.820

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33. 设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {\begin{array}{cc} 1 - \exp {- {(\frac{t}{θ})}^{m}}, & t \geq 0; \\ 0, & t < 0, \end{array}

其中

m > 0

为已知参数, 而

θ > 0

为未知参数. 随机取

n

个这种元件, 测得它们的寿命分别为

T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}

. 记

g (θ) = θ^{m}

.
(1) 试求

g (θ)

的极大似然估计

\hat{g} (T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n})

.
(2) 上述估计是否为无偏估计? 请证明你的结论.

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34. 中国科学技术大学 2019 级本科新生入学考试中, 某学院两个班级的英语科目各档成绩(从低到高)人数如下表所示:

我们能否认为这两个班级的英语水平大致相当? 显著性水平设为

α = 0.05

.

附录:

\begin{aligned} Φ (1.645) = 0.95, Φ (1.96) = 0.975 \\ t_{15} (0.025) = 2.131, t_{15} (0.05) = 1.753, t_{16} (0.025) = 2.12, t_{16} (0.05) = 1.746 \\ χ_{5}^{2} (0.95) = 1.145, χ_{5}^{2} (0.05) = 11.071, χ_{15}^{2} (0.975) = 6.262, χ_{15}^{2} (0.025) = 27.488 . \end{aligned}

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35. 设某手机每天销售量

X

(单位:万台) 的概率分布律为

X \sim (\begin{array}{ccc} 10 & 15 & 20 \\ θ^{2} & θ (1 - θ) & 1 - θ \end{array}),

其中

0 < θ < 1

为未知参数, 且每天的退货率为

5 %

, 现有一周的销售量:

15, 10, 10, 15, 20, 20, 15

.
(1) 求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

;
(2) 记

Y

为每天的退货量, 根据 (1) 中的

\hat{θ}

, 求

E (Y)

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36.

F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- \frac{x^{2}}{θ}}, & x ⩾ 0, \\ 0, & x < 0 \end{cases}

(其中

θ > 0

为未知参数),

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本.
(I) 求参数

θ

的矩估计量;
(II) 求参数

θ

的最大似然估计量.

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37. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自区间

[θ, θ + 1]

上均匀分布的总体

X

的简单随机样本, 试求
(I) 参数

θ

的矩估计量

{\hat{θ}}_{1}

;
(II) 参数

θ

的最大似然估计量

{\hat{θ}}_{2}

;
(III)

E ({\hat{θ}}_{1})

和

D ({\hat{θ}}_{1})

的值.

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38. 设

X_{1}, \dots, X_{16}

是正态总体

N (μ, 4)

的一个样本, 其观测值为

x_{1}, \dots, x_{16}

, 考虑下列检验问题:

H_{0} : μ = 6, H_{1} : μ \neq 6 .

检验的拒绝域为

W = {| \bar{x} - 6 | ⩾ c}

(其中

\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i}

).
(I) 求出显著性水平为

α = 0.05

时的常数

c

的值 (精确到 2 位小数);
(II) 求该检验在

μ = 6.5

处犯第二类错误的概率 (精确到 2 位小数).

(Φ (0.96) = 0.832, Φ (1.96) = 0.975, Φ (2.96) = 0.999 .)

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39. 设总体

X

服从

(0, θ]

上的均匀分布,

θ > 0, X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求

θ

的最大似然估计量

\hat{θ}

;
(2) 求

Z = \frac{\hat{θ}}{θ}

的分布函数;
(3) 若

P {\hat{θ} < θ < θ_{0}} = 1 - α, 0 < α < 1

, 求

θ_{0}

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40. 设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且分别服从正态分布

N (μ, σ^{2})

与

N (2 μ, σ^{2})

, 其中

σ > 0

为末知参数, 记

Z = 2 X - Y

.
(I) 求

Z

的概率密度

f (z)

;
(II) 设

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

为来自总体

Z

的简单随机样本, 求

σ^{2}

的极大似然估计量

{\hat{σ}}^{2}

;
(III) 求

E ({\hat{σ}}^{2})

和

D ({\hat{σ}}^{2})

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