题号:5681    题型:解答题    来源:2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析(数一)
设总体 $X$ 的概率密度
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $-\infty < \theta < +\infty . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, 并记
$$
X_{(1)}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} .
$$
(1) 求参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_M$ 和最大似然估计量 $\hat{\theta}_L$;
(2) 判断 $\frac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$ 是否为 $\theta$ 的无偏估计量, 并说明理由.
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