题号:
6565
题型:
解答题
来源:
2023年《概率论与数理统计》期末考试模拟卷
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本, $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{c}\theta x^{0-1}, 0 < x < 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$, 其中 $\theta>0$, 求
㟥数 $\theta$ 的最大似然估计
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解: 似然函数 $L(\theta)=\left\{\begin{array}{c}\theta x_1^{\theta-1} \cdot \theta x_2^{\theta-1} \cdots \cdots \theta x_n^{\theta-1}, 0 < x_i < 1 \\ 0, \text {, 其他 }\end{array}\right.$,
令 $L_1(\theta)=\theta^n\left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)^{\theta-1}$, 则 $\ln L_1(\theta)=n \ln \theta+(\theta-1) \ln \left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)=n \ln \theta+(\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln x_i$, 由 $\frac{d \ln L_1(\theta)}{d \theta}=\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^n \ln x_i=0$
得参数 $\theta$ 的最大似然估计为 $\hat{\theta}=\frac{-n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i}$.
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