设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha \mathrm{e}^{-\alpha(x-\beta)}, & x \geqslant \beta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha$ 为已知正常数, $\beta$ 为末知 正参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $\beta$ 的最大似然估计量 $\hat{\beta}$;
(II) 判断 $\hat{\beta}$ 是否为无偏估计.