设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ 与 $\mathrm{N}\left(2 \mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 为末知参数, 记 $Z=2 X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $\mathrm{E}\left(\hat{\sigma}^2\right)$ 和 $\mathrm{D}\left(\hat{\sigma}^2\right)$.