数学试题讲解

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设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且分别服从正态分布

N (μ, σ^{2})

与

N (2 μ, σ^{2})

, 其中

σ > 0

为末知参数, 记

Z = 2 X - Y

.
(I) 求

Z

的概率密度

f (z)

;
(II) 设

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

为来自总体

Z

的简单随机样本, 求

σ^{2}

的极大似然估计量

{\hat{σ}}^{2}

;
(III) 求

E ({\hat{σ}}^{2})

和

D ({\hat{σ}}^{2})

.