一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为 止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}, \frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}, \frac{4}{3}$.
已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $\chi^2(1)$.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $t(1)$.
已知 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_{50}$ 为来自总体 $X: N(2,4)$ 的样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$, 则 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50}\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从分布为
$\text{A.}$ $N\left(2, \frac{4}{50}\right)$
$\text{B.}$ $N\left(\frac{2}{50}, 4\right)$
$\text{C.}$ $\chi^2(50)$
$\text{D.}$ $\chi^2(49)$
设来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本的容量为 10 , 其中 $\mu$ 末知. 若 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.90$ 的单侧置信区间的置信下限 为
$\text{A.}$ $\dfrac{\chi_{0,025}^2(9)}{\chi_{0,10}^2(9)}$
$\text{B.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0.10}^2(9)}$
$\text{C.}$ $\dfrac{\chi_{0,975}^2(9)}{\chi_{0,90}^2(9)}$
$\text{D.}$ $\dfrac{\chi_{0.975}^2(9)}{\chi_{0.05}^2(9)}$
设 $X$ 为一随机变量, $E(X)=1, D(X)=0.1$, 则由切比雪夫不等式一定有
$\text{A.}$ $P(|X-1| < 1) \geq 0.1$
$\text{B.}$ $P(0 < X < 2) \geq 0.9$
$\text{C.}$ $P(|X-1| \geq 1) \geq 0.9$
$\text{D.}$ $P(0 < X < 2) < 0.1$
在一盒骰子中既有正常的均匀骰子, 也有灌铅骰子. 灌铅骰子掷出六点的概率为 0.9 ,掷出其余五个点数的概率相等.
从盒中取一枚骰子检验. 原假设 $H_0$ : 这是一枚均匀骰子. 备择假设 $H_1$ : 这是一枚灌铅骰子. 检验法则为, 连续投郑这枚骰子 $n$ 次, 若连续郑出 $n$ 个六点, 则拒绝 $H_0$, 否则接受 $H_0$. 下列命题中, 正确 的是
$\text{A.}$ 当 $n=2$ 时,犯第一类错误的概率是 0.21 .
$\text{B.}$ 当 $n=2$ 时, 犯第二类错误的概率是 0.21 .
$\text{C.}$ 若 $n$ 越大, 则犯第二类错误的概率就越小.
$\text{D.}$ 当 $n=3$ 时, 此检验法则是一个显著性水平为 0.01 的检验法则.
假设检验中, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下若原假设 $H_0$ 被接受, 这说明
$\text{A.}$ 有充分的理由表明 $H_0$ 是正确的
$\text{B.}$ 没有充分的理由表明 $H_0$ 是错误的
$\text{C.}$ 有充分的理由表明 $H_1$ 是错误的
$\text{D.}$ 没有充分的理由表明 $H_1$ 是正确的
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布, $Y=\sin X$, 则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
样本容量为 $\mathrm{n}$ 时, 样本方差 $s^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 这是因为
某大学从来自 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位: $\mathrm{cm}$ ）后算得 $\overline{\mathrm{x}}=175.9, \overline{\mathrm{y}}=172.0 ; \mathrm{s}_2^1=11.3, \mathrm{~s}_2^2=9.1$ 。假设两市新生身高分别服从正态分 布 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu_1, \sigma^2\right), \mathrm{Y} \sim \mathrm{N}\left(\mu_2, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 末知。试求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $0.95$ 的置信 区间。 $\left(\mathrm{t}_{0.025}(9)=2.2622, \mathrm{t}_{0.025}(11)=2.2010\right)$ 。
设总体 $X \sim N(\mu, 9)$, 已知样本容量为 25 , 样本均值 $\bar{x}=\boldsymbol{m}$; 记 $u_{0.1}=a, u_{0.05}=b ; t_{0.1}(24)=c, t_{0.1}(25)=d ; t_{0.05}(24)=l, t_{0.05}(25)=k$,
则 $\mu$ 的置信度为 $0.9$ 的置信区间为
已知 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x, 0 < x < 1 \\ 0 \text {, 其他 }\end{array}\right.$, 若 $P(X>c)=\frac{3}{4}$, 则 $c=$ （ ） ; 若 $Y=\min (X, 0.6)$, 则 $P(Y=0.6)=$ （ ）
设 $X, Y$ 是独立且均为参数 $p$ 的 $0-1$ 分布随机变量, 定义随机变量 $Z=\left\{\begin{array}{l}0, X+Y=1 \\ 1, X+Y \neq 1\end{array}\right.$, 则
$$
P(X=0, Z=0)=\quad P(X=1, Z=1)=
$$
对一正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为 $\bar{x}=10.6$ 和标 准差为 $s=1.2$ 。设以下显著性水平均为 $0.05$, 检验假设 $H_0: \mu=10 ; H_1: \mu \neq 10$, 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由: ；检验假设 $H_0: \sigma^2 \geq 1 ; H_1: \sigma^2 < 1$ ， 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由:
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}, & t \geq 0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零.
(1) 求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$, 其中 $s>0, t>0$.
（2）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2 \cdots, t_n$, 若 $m$ 已知, 求 $\theta$ 的 最大似然估计值 $\hat{\theta}$.
设二维随机变量 $\left(X_1, X_2\right) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$. 记 $X=\max \left\{X_1, X_2\right\}, Y=\min \left\{X_1\right.$, $\left.X_2\right\}, Z=X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ 和 $E Z$;
(II) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
设随机变量 $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim E(1)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 记 $Z=(2 X-1) Y,(Y, Z)$ 的分布函数为 $F(y, z)$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度;
(II) 求 $F(2,-1)$ 的值.
如果对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 随机变量 $X$ 满足 $P\{X \geqslant x\}=P\{X \leqslant-x\}$, 就 称 $X$ 为对称的. (1) 如果连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 证明 $Y-X$ 是对称的; (2) 如 果随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y,|x| < 1,|y| < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ $X$ 和 $Y$ 是否相互独立? $X$ 和 $Y$ 是否同分布? 又问 $Y-X$ 是否是对称的? 给出你的理由.
一盒中有 6 个红球 5 个白球, 每次同时从中取 2 球, 不放回取 2 次。 $X, Y$ 分别 为第 1,2 次取到的红球数, 求 (1) $X$ 的分布律; (2) $X$ 的分布函数; (3) $P(Y=1)$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中且 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 都末知, $-\infty < \mu < +\infty, \sigma^2>0$. 现从总体 $X$ 中抽取容量 $n=16$ 的样本观测值 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_{16}\right)$, 算 出 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i=503.75$, $s=\sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=6.2022$, 试在置信水平 $1-\alpha=0.95$ 下, 求 $\mu$ 的置信区间.
(已知: $t_{0.05}(15)=1.7531, t_{0.05}(16)=1.7459, t_{0.025}(15)=2.1315, t_{0.025}(16)=2.1199$ ) .
某味精厂用一台包装机包装味精，每袋质量 X(单位:g)服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 根据要求, 每袋质量应 为 $100 \mathrm{~g}$. 由于长期实跷表明标准差比较稳定, 且 $\sigma=0.5 \mathrm{~g}$. 现从某天包装的味精中抽取 9 袋, 测得 $\bar{x}=99.62 \mathrm{~g}$ ，问这一天包装机的工作是否正常? $\left(\alpha=0.05, u_{\alpha / 2}=1.96\right)$
1. 在假设检验问题中
（1）若检验结果是接受原假设, 则检验可能犯哪一类错误?
（2）若检验结甲是拒绝原假设，则检验又有可能犯哪一类错误?
2. 某厂生产的汽车电池便用寿命服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其说明书上写明其标准差不超过 0.9 年。现随机抽取 10 个, 得样本均值为 4 年, 样本标准差为 1.2 年。试在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下, 检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.
设 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=(1+\theta) x^\theta, 0 < x < 1$. 现考虑假设检验问题 $H_0: \theta=5 \leftrightarrow H_1: \theta=3$. 该检验的否定域为 $X>1 / 2$, 则犯第一类错误的概率和第二类错误的概率分别为多少?
简. 奥斯汀 (1775 - 1817), 英国女作家, 作品有: 《理智与情感》, 《傲慢与偏见》, 《爱玛》等, 在其身后, 她的哥哥亨利主持了遗作《劝导》和《诺桑觉寺》两部作品出版。下面表格收集了代表作《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》前两章中常用代表词的出现频数,
请问作品《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》之间在选择常用词比例是否存在差异? $(\alpha=0.05)$