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试卷3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 三个随机事件

A, B, C

相互独立的充分条件是

A.

A, B, C

两两独立.

B.

P (A + B + C) = 1 - P (\bar{A}) P (\bar{B}) P (\bar{C})

C.

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

D.

P (B - A) = 1

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2. 一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为

A.

\frac{2}{3}, \frac{4}{3}

B.

\frac{1}{3}, \frac{3}{4}

C.

\frac{1}{5}, \frac{3}{4}

D.

\frac{4}{5}, \frac{4}{3}

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3. 已知

X \sim N (0, 4)

, 样本

X_{1}, X_{2}

取自总体

X

, 则统计量

T = \frac{{(X_{1} - X_{2})}^{2}}{{(X_{1} + X_{2})}^{2}}

服从的分布是

A.

F (1, 1)

B.

χ^{2} (1)

C.

N (0, 1)

D.

t (1)

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4. 已知

X_{1}, X_{2}, L, X_{50}

为来自总体

X : N (2, 4)

的样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{50} X_{i}

, 则

\frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{50} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

服从分布为

A.

N (2, \frac{4}{50})

B.

N (\frac{2}{50}, 4)

C.

χ^{2} (50)

D.

χ^{2} (49)

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5. 设来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的简单随机样本的容量为 10 , 其中

μ

末知. 若

σ^{2}

的置信度为

0.95

的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则

σ^{2}

的置信度为

0.90

的单侧置信区间的置信下限为

A.

\frac{χ_{0, 025}^{2} (9)}{χ_{0, 10}^{2} (9)}

B.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0.10}^{2} (9)}

C.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0, 90}^{2} (9)}

D.

\frac{χ_{0.975}^{2} (9)}{χ_{0.05}^{2} (9)}

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6. 设

X

为一随机变量,

E (X) = 1, D (X) = 0.1

, 则由切比雪夫不等式一定有

A.

P (| X - 1 | < 1) \geq 0.1

B.

P (0 < X < 2) \geq 0.9

C.

P (| X - 1 | \geq 1) \geq 0.9

D.

P (0 < X < 2) < 0.1

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7. 在一盒骰子中既有正常的均匀骰子, 也有灌铅骰子. 灌铅骰子掷出六点的概率为 0.9 ,掷出其余五个点数的概率相等.
从盒中取一枚骰子检验. 原假设

H_{0}

: 这是一枚均匀骰子. 备择假设

H_{1}

: 这是一枚灌铅骰子. 检验法则为, 连续投郑这枚骰子

n

次, 若连续郑出

n

个六点, 则拒绝

H_{0}

, 否则接受

H_{0}

. 下列命题中, 正确的是

A.

当

n = 2

时,犯第一类错误的概率是 0.21 .

B.

当

n = 2

时, 犯第二类错误的概率是 0.21 .

C.

若

n

越大, 则犯第二类错误的概率就越小.

D.

当

n = 3

时, 此检验法则是一个显著性水平为 0.01 的检验法则.

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8. 假设检验中, 在显著性水平

α = 0.05

下若原假设

H_{0}

被接受, 这说明

A.

有充分的理由表明

H_{0}

是正确的

B.

没有充分的理由表明

H_{0}

是错误的

C.

有充分的理由表明

H_{1}

是错误的

D.

没有充分的理由表明

H_{1}

是正确的

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

X

服从区间

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

上的均匀分布,

Y = \sin X

, 则

Cov (X, Y) =

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10. 样本容量为

n

时, 样本方差

s^{2}

是总体方差

σ^{2}

的无偏估计量, 这是因为

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11. 某大学从来自

A, B

两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位:

cm

）后算得

\overset{―}{x} = 175.9, \overset{―}{y} = 172.0; s_{2}^{1} = 11.3, s_{2}^{2} = 9.1

。假设两市新生身高分别服从正态分布

X \sim N (μ_{1}, σ^{2}), Y \sim N (μ_{2}, σ^{2})

, 其中

σ^{2}

末知。试求

μ_{1} - μ_{2}

的置信度为

0.95

的置信区间。

(t_{0.025} (9) = 2.2622, t_{0.025} (11) = 2.2010)

。

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12. 设总体

X \sim N (μ, 9)

, 已知样本容量为 25 , 样本均值

\bar{x} = m

; 记

u_{0.1} = a, u_{0.05} = b; t_{0.1} (24) = c, t_{0.1} (25) = d; t_{0.05} (24) = l, t_{0.05} (25) = k

,
则

μ

的置信度为

0.9

的置信区间为

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13. 已知

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{matrix} 2 x, 0 < x < 1 \\ 0, 其他 \end{matrix}

, 若

P (X > c) = \frac{3}{4}

, 则

c =

（　　） ; 若

Y = min (X, 0.6)

, 则

P (Y = 0.6) =

（　　）

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14. 设

X, Y

是独立且均为参数

p

的

0 - 1

分布随机变量, 定义随机变量

Z = {\begin{cases} 0, X + Y = 1 \\ 1, X + Y \neq 1 \end{cases}

, 则

P (X = 0, Z = 0) = P (X = 1, Z = 1) =

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15. 对一正态总体

X \sim N (μ, σ^{2}), μ, σ^{2}

均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为

\bar{x} = 10.6

和标准差为

s = 1.2

。设以下显著性水平均为

0.05

, 检验假设

H_{0} : μ = 10; H_{1} : μ \neq 10

, 是否拒绝

H_{0}

? 说明理由: ；检验假设

H_{0} : σ^{2} \geq 1; H_{1} : σ^{2} < 1

，是否拒绝

H_{0}

? 说明理由:

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {\begin{array}{cc} 1 - e^{- {(\frac{t}{θ})}^{n}}, & t \geq 0, \\ 0, & 其他. \end{array}

其中

θ, m

为参数且大于零.
(1) 求概率

P {T > t}

与

P {T > s + t ∣ T > s}

, 其中

s > 0, t > 0

.
（2）任取

n

个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为

t_{1}, t_{2} \dots, t_{n}

, 若

m

已知, 求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

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17. 设二维随机变量

(X_{1}, X_{2}) \sim N (0, 0; 1, 1; 0)

. 记

X = max {X_{1}, X_{2}}, Y = min {X_{1}

X_{2}}, Z = X - Y

.
(I) 求

Z

的概率密度

f_{Z} (z)

和

E Z

;
(II) 求二维随机变量

(X, Y)

的分布函数.

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18. 设随机变量

X \sim B (1, \frac{1}{2}), Y \sim E (1)

, 且

X

与

Y

相互独立, 记

Z = (2 X - 1) Y, (Y, Z)

的分布函数为

F (y, z)

.
(I) 求

Z

的概率密度;
(II) 求

F (2, - 1)

的值.

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19. 如果对于任意的

x \in R

, 随机变量

X

满足

P {X ⩾ x} = P {X ⩽ - x}

, 就称

X

为对称的. (1) 如果连续型随机变量

X

和

Y

独立同分布, 证明

Y - X

是对称的; (2) 如果随机变量

(X, Y)

的密度函数为

f (x, y) = {\begin{array}{lc} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} (| x | - \frac{1}{2}) y, | x | < 1, | y | < 1, \\ 0, & 其他, \end{array}

X

和

Y

是否相互独立?

X

和

Y

是否同分布? 又问

Y - X

是否是对称的? 给出你的理由.

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20. 一盒中有 6 个红球 5 个白球, 每次同时从中取 2 球, 不放回取 2 次。

X, Y

分别为第 1,2 次取到的红球数, 求 (1)

X

的分布律; (2)

X

的分布函数; (3)

P (Y = 1)

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21. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

, 其中且

μ

与

σ^{2}

都末知,

- \infty < μ < + \infty, σ^{2} > 0

. 现从总体

X

中抽取容量

n = 16

的样本观测值

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{16})

, 算出

\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 503.75

s = \sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 6.2022

, 试在置信水平

1 - α = 0.95

下, 求

μ

的置信区间.
(已知:

t_{0.05} (15) = 1.7531, t_{0.05} (16) = 1.7459, t_{0.025} (15) = 2.1315, t_{0.025} (16) = 2.1199

) .

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22. 某味精厂用一台包装机包装味精，每袋质量 X(单位:g)服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 根据要求, 每袋质量应为

100 g

. 由于长期实跷表明标准差比较稳定, 且

σ = 0.5 g

. 现从某天包装的味精中抽取 9 袋, 测得

\bar{x} = 99.62 g

，问这一天包装机的工作是否正常?

(α = 0.05, u_{α / 2} = 1.96)

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23. 1. 在假设检验问题中
（1）若检验结果是接受原假设, 则检验可能犯哪一类错误?
（2）若检验结甲是拒绝原假设，则检验又有可能犯哪一类错误?
2. 某厂生产的汽车电池便用寿命服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 其说明书上写明其标准差不超过 0.9 年。现随机抽取 10 个, 得样本均值为 4 年, 样本标准差为 1.2 年。试在显著性水平

α = 0.05

下, 检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.

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24. 设

X

的概率密度函数为

f (x) = (1 + θ) x^{θ}, 0 < x < 1

. 现考虑假设检验问题

H_{0} : θ = 5 \leftrightarrow H_{1} : θ = 3

. 该检验的否定域为

X > 1 / 2

, 则犯第一类错误的概率和第二类错误的概率分别为多少?

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25. 简. 奥斯汀 (1775 - 1817), 英国女作家, 作品有: 《理智与情感》, 《傲慢与偏见》, 《爱玛》等, 在其身后, 她的哥哥亨利主持了遗作《劝导》和《诺桑觉寺》两部作品出版。下面表格收集了代表作《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》前两章中常用代表词的出现频数,

请问作品《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》之间在选择常用词比例是否存在差异?

(α = 0.05)

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