延安大学《概率论与数理统计》期末考试模拟试卷（1）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中且 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 都末知, $-\infty < \mu < +\infty, \sigma^2 > 0$. 现从总体 $X$ 中抽取容量 $n=16$ 的样本观测值 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_{16}\right)$, 算出 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i=503.75$, $s=\sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=6.2022$, 试在置信水平 $1-\alpha=0.95$ 下, 求 $\mu$ 的置信区间.
(已知: $t_{0.05}(15)=1.7531, t_{0.05}(16)=1.7459, t_{0.025}(15)=2.1315, t_{0.025}(16)=2.1199$ ) .

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我来讲解

答案：

解: 由于正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中期望 $\mu$ 与方差 $\sigma^2$ 都末知, 所以所求置信区间为
$$
\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1), \quad \bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n} \frac{\alpha}{2}} t_\alpha(n-1)\right) .
$$
由 $\alpha=0.05, n=16$, 得 $\frac{\alpha}{2}=0.025$. 查表, 得 $t_{0.025}(15)=2.1315$.
由样本观测值, 得 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i=503.75, s=\sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=6.2022$.
所以, $\bar{x}-\frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=503.75-\frac{6.2022}{\sqrt{16}} \times 2.1315=500.445$,
$$
\bar{x}+\frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=503.75+\frac{6.2022}{\sqrt{16}} \times 2.1315=507.055,
$$
因此所求置信区间为 $(500.445,507.055)$

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