题号:2261    题型:解答题    来源:2020年考研数学一真题解析
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}, & t \geq 0, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且大于零.
(1) 求概率 $P\{T > t\}$ 与 $P\{T > s+t \mid T > s\}$, 其中 $s > 0, t > 0$.
(2)任取 $n$ 个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2 \cdots, t_n$, 若 $m$ 已知, 求 $\theta$ 的 最大似然估计值 $\hat{\theta}$.
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答案:
(1) $P\{T > t\}=1-F(t)=e^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}$
$$
P\{T > s+t \mid T > s\}=P\{T > t\}=e^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^n}
$$
(2) $f(t)=F^{\prime}(t)=\left\{\begin{array}{cc}m \theta^{-m} t^{n-1}, e^{\left.-\left(\frac{t}{\theta}\right)\right]}, & t \geq 0 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$
似然函数 $L(\theta)=\prod_{i=1}^n f\left(t_i, \theta\right)=\left\{\begin{array}{cc}m^* \theta^{-m n}\left(t_1 \cdots t_n\right)^{n-1} e^{-\sigma^n \sum_{i=1}^n v^n} & t_i \geq 0 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 当 $t_1 \geq 0, t_2 \geq 0, \cdots, t_n \geq 0$ 时
$$
L(\theta)=m^* \theta^{-m n}\left(t_1 \cdots t_n\right)^{n-1} e^{-\theta^{-} \dot{\sum} \vdots^*}
$$
取对数 $\ln L(\theta)=n \ln m-m n \ln \theta+(m+1) \sum_{i=1}^n \ln t_i-\theta^{-m} \sum_{i=1}^n t_i^*$
求导数 $\frac{d \ln (\theta)}{d \theta}=-\frac{m n}{\theta}+m \theta^{-(m+1)} \sum_{i=1}^n t_i^m$
今 $\frac{d \ln (\theta)}{d \theta}=0$ 解得 $\theta=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i^*}$
所以 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i^*}$
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