题号:2979    题型:解答题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设二维随机变量 $\left(X_1, X_2\right) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$. 记 $X=\max \left\{X_1, X_2\right\}, Y=\min \left\{X_1\right.$, $\left.X_2\right\}, Z=X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ 和 $E Z$;
(II) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.
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答案:
解 (I) 由已知, 有
$$
\begin{aligned}
&X=\max \left\{X_1, X_2\right\}=\left\{\begin{array}{c}
X_1, X_1 \geqslant X_2, \\
X_2, X_1 < X_2
\end{array}=\frac{X_1+X_2+\left|X_1-X_2\right|}{2},\right. \\
&Y=\min \left\{X_1, X_2\right\}=\left\{\begin{array}{c}
X_1, X_1 < X_2, \\
X_2, X_1 \geqslant X_2
\end{array}=\frac{X_1+X_2-\left|X_1-X_2\right|}{2},\right.
\end{aligned}
$$
故 $Z=X-Y=\left|X_1-X_2\right|$.
由题设知, $X_1 \sim N(0,1), X_2 \sim N(0,1)$, 且 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立, 故 $X_1-X_2 \sim N(0$, $2)$, 则 $Z$ 的分布函数为
$$
\begin{aligned}
F_Z(z) &=P\left\{\left|X_1-X_2\right| \leqslant z\right\}= \begin{cases}P\left\{-z \leqslant X_1-X_2 \leqslant z\right\}, & z \geqslant 0, \\
0, & z < 0\end{cases} \\
&= \begin{cases}\Phi\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)-\Phi\left(-\frac{z}{\sqrt{2}}\right), & z \geqslant 0, \\
0, & z < 0,\end{cases}
\end{aligned}
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数, 故 $Z$ 的概率密度为

\begin{aligned}
&f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{4}}, & z \geqslant 0, \\ 0, & z < 0 .\end{cases}\\
&\text { 从而 } E Z=\int_{-\infty}^{+\infty} z f_Z(z) \mathrm{d} z=\int_0^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{4}} \mathrm{~d} z=-\left.\frac{2}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^2}{4}}\right|_0 ^{+\infty}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \text {. }\\
&P(A B) \text {, 其中 }\\
&A=\left\{\max \left\{X_1, X_2\right\} \leqslant x\right\}=\left\{X_1 \leqslant x, X_2 \leqslant x\right\},\\
&B=\left\{\min \left\{X_1, X_2\right\} \leqslant y\right\}=\left\{X_1 \leqslant y\right\} \cup\left\{X_2 \leqslant y\right\},
\end{aligned}


$$
\bar{B}=\left\{\min \left\{X_1, X_2\right\} > y\right\}=\left\{X_1 > y, X_2 > y\right\} .
$$
由 $A=A B \cup A \bar{B}$, 知 $P(A B)=P(A)-P(A \bar{B})$, 故
$$
\begin{aligned}
F(x, y) &=P(A B)=P(A)-P(A \bar{B}) \\
&=P\left\{X_1 \leqslant x, X_2 \leqslant x\right\}-P\left\{X_1 \leqslant x, X_2 \leqslant x, X_1 > y, X_2 > y\right\} \\
&=P\left\{X_1 \leqslant x\right\} P\left\{X_2 \leqslant x\right\}-P\left\{X_1 \leqslant x, X_1 > y\right\} P\left\{X_2 \leqslant x, X_2 > y\right\} \\
&=\Phi^2(x)-P\left\{X_1 \leqslant x, X_1 > y\right\} P\left\{X_2 \leqslant x, X_2 > y\right\} .
\end{aligned}
$$
当 $x \leqslant y$ 时, $F(x, y)=\Phi^2(x)$.
当 $x > y$ 时,
$$
\begin{aligned}
F(x, y) &=\Phi^2(x)-P\left\{y < X_1 \leqslant x\right\} P\left\{y < X_2 \leqslant x\right\} \\
&=\Phi^2(x)-[\Phi(x)-\Phi(y)]^2=2 \Phi(x) \Phi(y)-\Phi^2(y) .
\end{aligned}
$$
综上所述, $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}2 \Phi(x) \Phi(y)-\Phi^2(y), & x > y, \\ \Phi^2(x), & x \leqslant y .\end{cases}
$$
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