已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$ \text{A.} $ $F(1,1)$. $ \text{B.} $ $\chi^2(1)$. $ \text{C.} $ $N(0,1)$. $ \text{D.} $ $t(1)$.
【答案】 A

【解析】 由题设知: $\frac{X_1+X_2}{2 \sqrt{2}} \sim N(0,1), \frac{X_1-X_2}{2 \sqrt{2}} \sim N(0,1)$;
且 $\left(X_1, X_2\right)$ 服从二维正态分布 $N(0,0 ; 4,4 ; 0)$, 又 $\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right|=2 \neq 0$, 从而 $\left(X_1-X_2, X_1+X_2\right)$ 服从二维正态分布 $N(0,0 ; 8,8 ; \rho)$.
又由
$$
\operatorname{Cov}\left(X_1-X_2, X_1+X_2\right)=D\left(X_1\right)-\operatorname{Cov}\left(X_1, X_2\right)+\operatorname{Cov}\left(X_1, X_2\right)-D\left(X_2\right)=0,
$$
得 $\rho=0$, 从而 $X_1-X_2$ 与 $X_1+X_2$ 相互独立.

$\frac{X_1-X_2}{2 \sqrt{2}}$ 与 $\frac{X_1+X_2}{2 \sqrt{2}}$ 相互独立, 都服从 $N(0,1)$, 因此有
$$
\begin{aligned}
&\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{8} \sim \chi^2(1), \quad \frac{\left(X_1+X_2\right)^2}{8} \sim \chi^2(1), \\
&T=\frac{\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{8} / 1}{\frac{\left(X_1+X_2\right)^2}{8} / 1}=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2} \sim F(1,1) .
\end{aligned}
$$
故应选 (A).
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