某大学从来自 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生, 测其身高 (单位: $\mathrm{cm}$ )后算得 $\overline{\mathrm{x}}=175.9, \overline{\mathrm{y}}=172.0 ; \mathrm{s}_2^1=11.3, \mathrm{~s}_2^2=9.1$ 。假设两市新生身高分别服从正态分 布 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}\left(\mu_1, \sigma^2\right), \mathrm{Y} \sim \mathrm{N}\left(\mu_2, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 末知。试求 $\mu_1-\mu_2$ 的置信度为 $0.95$ 的置信 区间。 $\left(\mathrm{t}_{0.025}(9)=2.2622, \mathrm{t}_{0.025}(11)=2.2010\right)$ 。
【答案】 解:这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知,
$$
\begin{aligned}
\mathrm{n} 1=& 5, \mathrm{n} 2=6, \overline{\mathrm{x}}=175.9, \overline{\mathrm{y}}=172, \mathrm{~s}_1^2=11.3, \mathrm{~s}_2^2=9.1, \alpha=0.05 . \\
\mathrm{s}_{\mathrm{w}} &=\sqrt{\frac{\left(\mathrm{n}_1-1\right) \mathrm{s}_1^2+\left(\mathrm{n}_2-1\right) \mathrm{s}_2^2}{\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2-2}} \\
&=3.1746
\end{aligned}
$$
选取 t0.025(9) $=2.2622$,
则 $\mu_1-\mu_2$ 置信度为 $0.95$ 的置信区间为:
$$
\begin{aligned}
& {\left[\overline{\mathrm{x}}-\overline{\mathrm{y}}-\mathrm{t}_{\frac{\alpha}{2}}\left(\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2-2\right) \mathrm{s}_{\mathrm{w}} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{n}_1}+\frac{1}{\mathrm{n}_2}}, \overline{\mathrm{x}}-\overline{\mathrm{y}}+\mathrm{t}_{\frac{\alpha}{2}}\left(\mathrm{n}_1+\mathrm{n}_2-2\right) \mathrm{s}_{\mathrm{w}} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{n}_1}+\frac{1}{\mathrm{n}_2}}\right] } \\
=& {[-0.4484,8.2484] . }
\end{aligned}
$$


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