题号:2252    题型:填空题    来源:2020年考研数学一真题解析
设 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布, $Y=\sin X$, 则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=$
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答案:
$\frac{2}{\pi}$

解析:

解析 :
解 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi} & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$
$$
\operatorname{cov}(X, Y)=E X Y-E X E Y
$$
$=E(X \sin X)-E X E(\sin X)$
$$
=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \frac{1}{\pi} d x-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\pi} x d x \int_{-\frac{\pi}{2} \pi}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\pi} \sin x d x
$$
$$
=2 \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x d x-0
$$
$$
=\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}}(-x) d \cos x
$$
$$
=\frac{2}{\pi}\left(-\left.x \cos x\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x\right)
$$
$$
=\frac{2}{\pi}\left(0+\left.\sin x\right|_0 ^{\frac{\pi}{2}}\right)=\frac{2}{\pi}
$$
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