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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{| x |}}

的部分图象大致为（　　）.

A.

B.

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2. 已知函数

f (x) = e^{| x |} - 2 x^{2}

,则

f (x)

的图象可能是（　　）.

A.

B.

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3. 已知

a = \frac{\ln 2}{2}, b = \frac{\ln 6}{6}, c = \frac{\ln 7}{7}

, 则

A.

c > b > a

B.

b > a > c

C.

b > c > a

D.

a > b > c

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4. 函数

f (x) = \frac{x \log_{2} | x |}{2^{x} + 2^{- x}}

的部分图象大致是

A.

B.

C.

D.

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5. 设函数

f (x) = 2^{x (x - a)}

在区间

(0, 1)

上单调递减, 则

a

的取值范围是

A.

(- \infty, - 2]

B.

[- 2, 0)

C.

(0, 2]

D.

[2, + \infty)

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6. 指数函数

y = a^{x}

的图象如图所示, 则

y = a x^{2} + x

图象顶点横坐标的取值范围是

A.

(- \infty, - \frac{1}{2})

B.

(- \frac{1}{2}, 0)

C.

(0, \frac{1}{2})

D.

(- \frac{1}{2}, + \infty)

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7. 已知

f (x) = \sqrt{\ln x + 9 x - a}, a \in R

, 曲线

y = \cos x + 2

上存在点

(x_{0}, y_{0})

, 使得

f (f (y_{0})) = y_{0}

, 则

a

的范围是

A.

(8, 18 + \ln 3)

B.

[8, 18 + \ln 3]

C.

(9, 27 + \ln 3)

D.

[9, 27 + \ln 3]

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8. 已知

a = \ln \frac{1}{2}, b = {(\frac{1}{2})}^{- 3}, c = \frac{\tan 15^{\circ}}{1 - \tan^{2} 15^{\circ}}

, 则实数

a, b, c

的大小关系是

A.

a > b > c

B.

b > c > a

C.

c > b > a

D.

a > c > b

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9. 已知函数

f (x) = e^{| x |} - \frac{1}{2}, g (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x + 1, x \leq 0 \\ (x - 1) \ln x, x > 0 \end{cases}

, 若关于

x

的方程

g (f (x)) - m = 0

有四个不同的解, 则实数

m

的取值集合为

A.

(0, \frac{\ln 2}{2})

B.

(\frac{\ln 2}{2}, 1)

C.

{\frac{\ln 2}{2}}

D.

(0, 1)

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10. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)

在

[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]

上单调,

f (\frac{π}{6}) = f (\frac{4 π}{3}) = - f (- \frac{π}{3})

,则

ω

的可能取值为

A.

\frac{12}{7}

B.

\frac{9}{5}

C.

\frac{6}{7}

D.

\frac{3}{5}

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11. 比较

a = \frac{11}{10} - \frac{10}{11}, b = \ln 1.2, c = \frac{1}{5 e^{0.1}}

的大小

A.

a > c > b

B.

b > c > a

C.

b > a > c

D.

a > b > c

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12. 已知函数

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4 (x \in [0, 3])

, 则

A.

函数

f (x)

在区间

[0, 2]

上单调递减

B.

函数

f (x)

在区间

[0, 3]

上的最大值为 1

C.

函数

f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线方程为

y = - 3 x + \frac{10}{3}

D.

若关于

x

的方程

f (x) = a

在区间

[0, 3]

上有两解，则

a \in (- \frac{4}{3}, 4)

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13. 已知函数

f (x)

和其导函数

g (x)

的定义域都是

R

, 若

f (x) - x

与

g (2 x + 1)

均为偶函数, 则

A.

f (0) = 0

B.

\frac{f (x)}{x}

关于点

(0, 1)

对称

C.

g (2023) = 1

D.

(g (1) - 1) \times (g (2) + 1) + (g (2) - 1) \times (g (3) + 1) + \dots + (g (2023) - 1) \times (g (2024) + 1) = 0

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14. 函数

f (x) = \log_{2} (2 x) \cdot \log_{2} (4 x)

的值域为

A.

R

B.

[- \frac{1}{24}, + \infty)

C.

[- \frac{1}{4}, + \infty)

D.

[- \frac{3}{2}, + \infty)

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15. 函数

f (x) = 2^{x} + 3^{- x}

的图象可能为

A.

B.

C.

D.

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16. 已知

a > b > 0

且

a^{2} - b^{2} = 4

, 则

a^{2} - a b + b^{2}

的最小值为

A.

2 \sqrt{2}

B.

2 \sqrt{3}

C.

D.

2 \sqrt{5}

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17. 已知

f (x) = {\begin{array}{cc} | 4 - x^{2} |, & x ⩽ 0, \\ \frac{1}{x}, & x > 0 \end{array}

, 若

x_{1} < x_{2} < x_{3}

满足

f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})

, 则

\frac{x_{1} x_{2}}{x_{3}}

的取值范围为

A.

(0, 2 \sqrt{3}]

B.

(0, \sqrt{15}]

C.

(0, 8]

D.

(0, 64]

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18. 已知

f (x)

是定义在

R

上的奇函数, 且当

x ⩾ 0

时,

f (x) = 2^{x} + x + m

, 则

f (- 3) =

A.

-10

B.

-4

C.

D.

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19. 已知

f^{'} (x)

是函数

f (x)

的导函数, 若函数

y = e^{f (x)}

的图象大致如图所示, 则

f (x)

的极大值点为

A.

a

B.

b

C.

c

D.

d

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20. 已知

a > 0, b > 1

, 且

e^{2 a} + 2 \ln b + 1 = b^{2} + 2 a

, 则必有

A.

b > e^{a}

B.

\ln b < a

C.

a + \ln b = 1

D.

a + \ln b < 1

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21.

f (x) = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} + a^{2}} + \ln \frac{x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{a}

的定义域为

R, f (2 a + 1) + f (3 - a) > 0

, 则

a

的取值范围为

A.

(0, + \infty)

B.

(- \infty, - 4)

C.

(- 4, 0)

D.

(- 4, 0) \cup (0, + \infty)

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22. 已知函数

y = f (x)

的图象是下列四个图象之一, 且其导函数

y = f^{'} (x)

的图象如图所示, 则该函数的图象是

A.

B.

C.

D.

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23. 已知

a = \cos \frac{π}{5}, b = \sin \frac{π}{4}, c = \log_{3} 2

, 则

A.

b < a < c

B.

b < c < a

C.

c < a < b

D.

c < b < a

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24. 已知函数

f (x)

是定义在

R

上的奇函数, 且对任意的

x > 0, f (x + 2) + 2 f (x) = 0

恒成立, 当

x \in [0, 2]

时

f (x) = \sin \frac{π x}{2}

. 若对任意

x \in [- m, m] (m > 0)

, 都有

| f (x - 1) | \leq 2

, 则

m

的最大值是

A.

\frac{7}{3}

B.

\frac{10}{3}

C.

D.

\frac{13}{3}

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25. 若函数

f (x)

的定义域为

D

, 若对于任意

x_{1} \in D

, 都存在唯一的

x_{2} \in D

, 使得

f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1

,则称

f (x)

为 “

I

型函数”, 则下列说法正确的是

A.

函数

f (x) = \ln x

是 “

I

型函数”

B.

函数

f (x) = \sin x

是 “

I

型函数”

C.

若函数

f (x)

是 “

I

型函数”, 则函数

1 - f (x)

也是 “

I

型函数”

D.

已知

m \in R

, 若

f (x) = m + \sin x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

是 “

I

型函数”, 则

m = \frac{1}{2}

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26. 在

△ A B C

中,

(\sin B - \sin C)^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C

, 则

\tan A =

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\sqrt{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{3}

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27. 已知函数

f (x) = 2 \sin x - e^{x} + e^{- x}

, 则关于

x

的不等式

f (x^{2} - 4) + f (3 x) < 0

的解集为

A.

(- 4, 1)

B.

(- 1, 4)

C.

(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)

D.

[- 1, 4]

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28. 若直线

y = a x + b

是曲线

y = \ln x (x > 0)

的一条切线, 则

2 a + b

的最小值为

A.

2 \ln 2

B.

\ln 2

C.

\frac{1}{2} \ln 2

D.

1 + \ln 2

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29. 设函数

f (x)

的定义域为

D

, 若函数

f (x)

满足条件: 存在

[a, b] \subseteq D

, 使

f (x)

在

[a, b]

上的值域为

[2 a, 2 b]

,则称

f (x)

为 “倍增函数” . 若函数

f (x) = \log_{2} (2^{x} - t)

(其中

t \geq 0)

为 “倍增函数” , 则

t

的取值范围为

A.

(0, \frac{1}{4})

B.

(0, 1)

C.

(0, \frac{1}{2}]

D.

(\frac{1}{4}, + \infty)

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30. 已知正数

a, b, c

满足

a e^{a} = b \ln b = e^{c} \ln c = 1

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c < a < b

B.

c < b < a

C.

a < b < c

D.

a < c < b

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31. 已知函数

f (x) = \frac{a^{x} - b}{a - 1}, (a, b \in R

且

a > 0, a \neq 1)

, 则

f (x)

的单调性

A.

与

a

无关, 与

b

有关

B.

与

a

有关，与

b

无关

C.

与

a

有关，与

b

有关

D.

与

a

无关, 与

b

无关

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32. 已知函数

f (x), \forall x, y \in R

, 有

f (x + y) = f (x) \cdot f (a - y) + f (y) \cdot f (a - x)

, 其中

a \neq 0, f (a) \neq 0

, 则下列说法一定正确的是

A.

f (a) = 1

B.

f (x)

是奇函数

C.

f (x)

是偶函数

D.

存在非负实数

T

, 使得

f (x) = f (x + T)

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33. 已知

f (x)

为

R

上的减函数, 则

A.

f ({0.2}^{- 0.3}) > f (\log_{3} 2) > f (0.5)

B.

f (0.5) > f (\log_{3} 2) > f ({0.2}^{- 0.3})

C.

f (\log_{3} 2) > f (0.5) > f ({0.2}^{- 0.3})

D.

f ({0.2}^{- 0.3}) > f (0.5) > f (\log_{3} 2)

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34. 如右图是

y = f (x)

的大致图象, 则

f (x)

的解析式可能为

A.

f (x) = | x^{2} - \sin x |

B.

f (x) = | x - \sin x |

C.

f (x) = | 2^{x} - 1 |

D.

f (x) = | x^{2} - x - \frac{1}{4} |

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35. 函数

f (x) = \frac{4 \cos x}{| x | + \frac{1}{2} x^{2}}

的部分图象大致为

A.

B.

C.

D.

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36. 已知函数

f (x)

的定义域为

R

, 则以下选项正确的是

A.

若

f (x + 1) = - f (x)

, 则

f (x + 2) = f (x)

B.

若

f (x + 2) = f (x)

, 则

f (x + 1) = - f (x)

C.

若

f (x + 2) = f (- x)

, 且

f (x)

为奇函数, 则

f (x + 4) = f (x)

D.

若

f (x + 2) = f (- x)

, 且

f (x + 4) = f (x)

, 则

f (x)

为奇函数

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37. 已知定义在

R

上的奇函数

f (x)

满足

f (x + 1) = - f (x)

, 则

f (2022) =

A.

-1

B.

C.

D.

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38. 若关于

x

的方程

\frac{(x + 1)^{2}}{x} + \frac{m (x - 1)^{2}}{x^{2} + 1} = 6

恰有三个不同的实数解

x_{1}, x_{2}, x_{3}

, 且

x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}

, 其中

m \in R

, 则

(x_{1} + \frac{1}{x_{1}}) (x_{2} + x_{3})

的值为

A.

-6

B.

-4

C.

-3

D.

-2

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39. 若将

\ln y = \ln x + \ln (y - x)

确定的两个变量

y

与

x

之间的关系看成

y = f (x)

, 则函数

y =

f (x)

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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40. 函数

f (x) = \frac{x (e^{\sin x} - e^{- \sin x})}{e^{x} + e^{- x}}

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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