已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$ 上单调, $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$,则 $\omega$ 的可能取值为
A. $\frac{12}{7}$
B. $\frac{9}{5}$
C. $\frac{6}{7}$
D. $\frac{3}{5}$