已知正数 $a, b, c$ 满足 $a \mathrm{e}^a=b \ln b=\mathrm{e}^c \ln c=1$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为

$\text{A.}$ $c < a < b$ $\text{B.}$ $c < b < a$ $\text{C.}$ $a < b < c$ $\text{D.}$ $a < c < b$

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