已知函数 $f(x)$ 和其导函数 $g(x)$ 的定义域都是 $\mathbf{R}$, 若 $f(x)-x$ 与 $g(2 x+1)$ 均为偶函数, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\frac{f(x)}{x}$ 关于点 $(0,1)$ 对称
$\text{C.}$ $g(2023)=1$
$\text{D.}$ $(g(1)-1) \times(g(2)+1)+(g(2)-1) \times(g(3)+1)+\cdots+(g(2023)-1) \times(g(2024)+1)=0$