已知函数 $f(x), \forall x, y \in R$, 有 $f(x+y)=f(x) \cdot f(a-y)+f(y) \cdot f(a-x)$, 其中 $a \neq 0, f(a) \neq 0$, 则下列说法一定正确的是

$\text{A.}$ $f(a)=1$ $\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数 $\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数 $\text{D.}$ 存在非负实数 $T$, 使得$f(x)=f(x+T)$

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