将函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位得到函数 $g(x)$ 的图像, 若 $g(x)$ 的图像与 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 则下列说法正确的有
$ \text{A.} $ $\varphi=\frac{\pi}{4}$ $ \text{B.} $ $\varphi=-\frac{\pi}{1}$ $ \text{C.} $ $g(x)$ 的对称轴过 $f(x)$ 的对称中心 $ \text{D.} $ $\forall m \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right], \exists n \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$,使得 $f(m)=g(n)$
【答案】 AC

【解析】 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位得到 $g(x)=$ $\sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\varphi\right]=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}+\varphi\right)$ 的 图像,
$\because g(x)$ 的图像与 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称,
$\therefore g(0)=f(0)$, 即 $\cos \varphi=\sin \varphi$,
$\because|\varphi| < \frac{\pi}{2}, \therefore \varphi=\frac{\pi}{4}$, 经检验,满足题意, 故选项
$\wedge$ 正确,选项 B 不正确;
设 $f(x)$ 的周期为 $T, \because g(x)$ 的图像是 $f(x)$ 的
图像向左平移 $\frac{T}{4}$ 个得到, $\therefore g(x)$ 的对称轴过 $f(x)$ 的对称中心, 故选项 C 正确;
当 $m \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$ 时, $f(m)$ 的值域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$, 当 $n \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$ 时, $g(n)$ 的值域为 $\left.\because 0,1] \cdot\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right] \not \subset 0,1\right]$. 故选项 D 不正确. 故 选 $A C$.
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