将函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位得到函数 $g(x)$ 的图像, 若 $g(x)$ 的图像与 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $\varphi=\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\varphi=-\frac{\pi}{1}$
$\text{C.}$ $g(x)$ 的对称轴过 $f(x)$ 的对称中心
$\text{D.}$ $\forall m \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right], \exists n \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}\right]$,使得 $f(m)=g(n)$