题号:2315    题型:单选题    来源:邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
已知函数 $f(x)$ 的局部图象如图所示, 下列函数 $f(x)$ 的解析式与图 象符合的可能是
$A.$ $f(x)=\frac{4}{5} x^2$ $B.$ $f(x)=x^4$ $C.$ $f(x)=x \sin x$ $D.$ $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
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答案:
AC

解析:

对于 $\mathrm{A}, f(-x)=\frac{1}{5}(-x)^2=\frac{1}{5} x^2=f(x)$ 为偶函数,图象为开口向上的抛物线, $f(1)=\frac{4}{5} < 1$, 与题 干图象相符; 对于 $\mathrm{B}, f(x)=x^4$ 为偶函数,但 $f(1)=1$, 与题干图象不相符; 对于 $\mathrm{C}, f(-x)=(-x) \sin (-x)$ $=x \sin x=f(x)$ 为偶函数, 由 $f^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x$, 当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时, $f^{\prime}(x) > 0, f(x)$ 单调递增, 且 $f(1)=$ $\sin 1 < 1$, 与题干图象相符; 对于 $\mathrm{D}, f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=-f(x)$ 为奇函数, 与题干图像不相符.
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