在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $\mathrm{S}$, 若 $\sin (A+C)=\frac{2 S}{b^2-a^2}$, 则 $\tan A+\frac{1}{3 \tan (B-A)}$ 的取值范围为
A. $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$
B. $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right]$
C. $\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right)$
D. $\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3}\right)$