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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

α \in (- \frac{π}{2}, 0)

, 且

\tan (\frac{π}{4} - α) = 3 \cos 2 α

, 则

\sin 2 α =

A.

- \frac{1}{6}

B.

- \frac{1}{3}

C.

- \frac{2}{3}

D.

- \frac{5}{6}

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2. 已知角

α

的顶点与原点重合, 始边与

x

轴正半轴重合, 终边经过点

(1, - 2)

, 则

\tan 2 α =

A.

- \frac{3}{4}

B.

\frac{3}{4}

C.

- \frac{4}{3}

D.

\frac{4}{3}

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3. 已知

\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \tan θ - \frac{7}{2}

, 则

\cos 2 θ =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{4}{5}

D.

\frac{4}{5}

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4. 已知函数

f (x) = \cos^{2} x + \sin x \cos x - \frac{1}{2}

的图象为

C

, 以下说法中正确的是

A.

函数

f (x)

的最大值为

\frac{\sqrt{2} + 1}{2}

B.

图象

C

相邻两条对称轴的距离为

\frac{π}{2}

C.

图象

C

关于

(- \frac{π}{8}, 0)

中心对称

D.

要得到函数

y = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x

的图象, 只需将函数

f (x)

的图象横坐标伸长为原来的 2 倍, 再向右平移

\frac{π}{4}

个单位

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5. 已知

α, β

为锐角,

\tan α = \frac{4}{3}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}

, 则

\tan (α - β) =

A.

-2

B.

- \frac{24}{7}

C.

- \frac{\sqrt{5}}{5}

D.

- \frac{2}{11}

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6. 若函数

f (x) = \sin (ω_{X} + ϕ) (ω > 0, | ϕ | < \frac{π}{2})

的部分图象如图所示,

A (\frac{π}{3}, 0), B (\frac{7 π}{12}, - 1)

，则

f (x)

的解析式是

A.

f (x) = \sin (x + \frac{π}{6})

B.

f (x) = \sin (x \frac{π}{6})

C.

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})

D.

f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})

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7. 将函数

y = \frac{1}{2} \sin x + x (x \in [0, \frac{π}{2}])

的图象绕着原点沿逆时针方向旋转

θ

角得到曲线

Γ

, 已知曲线

Γ

始终保持为函数图象, 则

\tan θ

的最大值为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

D.

\frac{3}{2}

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8. 设函数

f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) - 2 (ω > 0)

的导函数

f^{'} (x)

的最大值为 2 , 则

f (x)

在

[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]

上的最小值为

A.

\frac{\sqrt{3}}{2} - 2

B.

- \frac{5}{2}

C.

- \frac{\sqrt{3}}{2} - 2

D.

- 3

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9. 已知

α, β \in (0, \frac{π}{4}), \sin α \cos (\frac{3 π}{2} + α) - \sin (\frac{π}{2} + α) \cos α = - \frac{3}{5}

, 且

3 \sin β = \sin (2 α + β)

,则

α + β

的值为

A.

\frac{π}{12}

B.

\frac{π}{6}

C.

\frac{π}{4}

D.

\frac{π}{3}

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10. 若点

P (\sin \frac{π}{6}, \frac{1}{2})

在角

α

的终边上, 则

\tan α

的值为

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

C.

\frac{π}{6}

D.

\frac{π}{4}

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11. 已知扇形

O A B

的面积为

π, \overset{⏜}{A B}

的长为

π

, 则

A B =

A.

\sqrt{2}

B.

C.

2 \sqrt{2}

D.

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12. 已知角

α

的终边与角

β

的终边关于

y = x

对称 (

β

为象限角), 则

\frac{\cos (α - β)}{\sin 2 β} =

A.

-1

B.

C.

D.

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13. 若定义在

R

上的函数

f (x) = \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)

的图象在区间

[0, π]

上恰有5条对称轴，则

ω

的取值范围为

A.

[\frac{17}{4}, \frac{21}{4})

B.

(\frac{17}{4}, \frac{25}{4})

C.

[\frac{17}{4}, \frac{25}{4})

D.

[\frac{33}{4}, \frac{41}{4})

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14. 已知

θ \in (\frac{3 π}{4}, π), \tan 2 θ = - 4 \tan (θ + \frac{π}{4})

, 则

\frac{1 + \sin 2 θ}{2 \cos^{2} θ + \sin 2 θ} =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{3}{4}

C.

D.

\frac{3}{2}

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15. 已知

f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)

的部分图象如图所示, 则

A.

f (x) = \sin (2 x + \frac{3 π}{4})

B.

f (x)

的图象的一个对称中心为

(\frac{π}{8}, 0)

C.

f (x)

的单调递增区间是

[\frac{π}{8} + k π, \frac{5 π}{8} + k π], k \in Z

D.

把

f (x)

的图象向左平移

\frac{5 π}{8}

个单位后得到的是一个奇函数的图象

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16. 试问有多少个实数

x

满足

\sin (x + \frac{π}{6}) = \sin x + \sin \frac{π}{6}

且

0 \leq x < 2 π

A.

1 个

B.

2 个

C.

3个

D.

4个

E.

5 个（含）以上

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17. 在同一平面上, 相距 7 公里的

A 、 B

两炮台,

A

在

B

的正东方。某次演习时,

A

向西偏北

θ

方向发射炮弹,

B

则向东偏北

θ

方向发射砲弹, 其中

θ

为锐角, 观测回报两炮弹皆命中 9 公里外的同一目标

P

。接著

A

改向西偏北

\frac{θ}{2}

方向发射炮弹，弹著点为 9 公里外的点

Q

，试问炮弹

B

与弹著点

Q

的距离

B Q

为何?

A.

4 公里

B.

4.5 公里

C.

5 公里

D.

5.5 公里

E.

6 公里

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18. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} \sin x, x \leq 0 \\ f (x - \frac{π}{2}) + m, x > 0 \end{cases}

满足

f (π) = 1

, 则实数

m

的值为

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

D.

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19. 已知函数

f (x) = \sin π x, x \in (0, 2)

的图象与直线

y = a (x - 1)

有 3 个交点, 则实数

a

的取值范围为

A.

(- \infty, 0)

B.

(- 1, 0)

C.

(- \infty, - π)

D.

(- π, 0)

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20. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

\frac{a - b}{c - b} =

\frac{\sin C}{\sin A + \sin B}

, 则

A =

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3}

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21. 在锐角

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对应的边分别为

a, b, c

, 若

b

= 2 a \sin B

, 则角

A

等于

A.

30^{\circ}

B.

45^{\circ}

C.

60^{\circ}

D.

30^{\circ}

或

150^{\circ}

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22. 在

△ A B C

中,

B C = 3, \sin B + \sin C = \frac{\sqrt{10}}{3} \sin A

, 且

△ A B C

的面积为

\frac{1}{2} \sin A

, 则

A =

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{4}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{2 π}{3}

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23. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

(a + b + c) (b + c - a) = 2 b c

, 那么

△ A B C

是

A.

锐角三角形

B.

直角三角形

C.

钝角三角形

D.

无法确定

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24. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

\frac{c^{2} - a^{2} - b^{2}}{2 a b} > 0

, 则

△ A B C

一定是

A.

锐角三角形

B.

直角三角形

C.

针角三角形

D.

等边三角形

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25. 在

△ A B C

中,

a, b, c

分别为三个内角

A, B, C

的对边, 若

a = 2, b = 1, B = 29^{\circ}

, 则此三角形解的情况是

A.

无解

B.

有一解

C.

有两解

D.

有无数解

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26. 在

△ A B C

中, 已知

a = 18, b = 20, A = 150^{\circ}

, 这个三角形解的情况是

A.

一解

B.

两解

C.

无解

D.

不确定

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27. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

a \sin B = b \sin C

, 则

△ A B C

的面积为

A.

\frac{a^{2} \sin 2 C}{2}

B.

\frac{b^{2} \sin 2 A}{2}

C.

\frac{c^{2} \sin 2 B}{2}

D.

\frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{12}

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28. ) 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对应的边分别为

a, b, c

, 设

△ A B C

的面积为

S

, 则

\frac{S}{a^{2} + 4 b c}

的最大值为

A.

\frac{\sqrt{2}}{16}

B.

\frac{\sqrt{3}}{12}

C.

\frac{\sqrt{3}}{16}

D.

\frac{\sqrt{2}}{18}

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29. 锐角

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

a^{2} + b^{2} = 5 c^{2}

, 则

\cos C

的取值范围是

A.

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3})

B.

(\frac{1}{2}, 1)

C.

[\frac{4}{5}, \frac{\sqrt{6}}{3})

D.

[\frac{4}{5}, 1)

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30. 在锐角三角形

A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且满足

\frac{a}{2} + a \cos B = \frac{c}{2}

, 则

\frac{\tan B - \tan A}{2 \tan A \cdot \tan B}

的取值范围是

A.

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3})

B.

(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2})

C.

(0, \frac{1}{2})

D.

(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})

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31. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, A = 60^{\circ}, b = 3 c

, 角

A

的平分线交

B C

于点

D

, 且

B D = \sqrt{7}

, 则

\cos ∠ A D B

的值为

A.

- \frac{\sqrt{21}}{7}

B.

\frac{\sqrt{21}}{7}

C.

\frac{2 \sqrt{7}}{7}

D.

\pm \frac{\sqrt{21}}{7}

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32. 已知点

G

为三角形

A B C

的重心, 且

| \vec{G A} + \vec{G B} | = | \vec{G A} - \vec{G B} |

, 当

∠ C

取最大值时,

\cos C =

A.

\frac{4}{5}

B.

\frac{3}{5}

C.

\frac{2}{5}

D.

\frac{1}{5}

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33. 已知

α, β \in (0, \frac{π}{2}), 2 \tan α = \frac{\sin 2 β}{\sin β + \sin^{2} β}

, 则

\tan (2 α + β + \frac{π}{3}) =

A.

- \sqrt{3}

B.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\sqrt{3}

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34. 已知函数

f (x) = \frac{\cos x}{x}

, 若

A, B

是锐角

△ A B C

的两个内角, 则下列结论一定正确的是

A.

f (\sin A) > f (\sin B)

B.

f (\cos A) > f (\cos B)

C.

f (\sin A) > f (\cos B)

D.

f (\cos A) > f (\sin B)

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35. 已知函数

f (x) = \cos 2 x, g (x) = \sin x

, 则存在

θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})

, 使得

A.

2 g (θ) = f (θ) + g (θ) \cdot f (θ)

B.

4 g (θ) \cdot f (θ) = f (θ) + 2 g (θ)

C.

2 f (θ) = g (θ) + g (θ) \cdot f (θ)

D.

f (θ) = g (θ)

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36. 函数

y = 2 \tan (3 x + \frac{π}{6})

的定义域是

A.

{x | x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z}

B.

{x | x \neq \frac{π}{12} + k π, k \in Z}

C.

{x | x \neq \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in Z}

D.

{x | x \neq \frac{π}{9} + \frac{k π}{3}, k \in Z}

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37. 已知

\tan α = 3

, 则

\frac{\sin (π - α) + 2 \cos (π + α)}{\sin (\frac{π}{2} + α) + \cos (\frac{3 π}{2} + α)} =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{4}

C.

\frac{5}{4}

D.

\frac{1}{2}

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38. 已知

\cos (140^{\circ} - α) + \sin (110^{\circ} + α) = \sin (130^{\circ} - α)

, 求

\tan α =

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\sqrt{3}

D.

- \sqrt{3}

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39. 已知

x \in [0, \frac{π}{4}], \sin x + \cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}

, 则

\tan (x - \frac{3 π}{4}) =

A.

B.

-3

C.

- \sqrt{5}

D.

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40. 求值:

2 \sin 80^{\circ} \cos 20^{\circ} - \frac{\sin 20^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}} =

A.

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

1

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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