一、单选题 （共 30 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=2 \ln x-\frac{1}{2} x^2+x$ 的图象在 $x=1$ 处的切线为 $l$, 则 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为
$\text{A.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{2}$.
函数 $f(x)=\frac{3^x \cos 6 x}{3^{2 x}-1}$ 的图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
定义函数 $\min \{f(x), g(x)\}=\left\{\begin{array}{l}f(x), f(x) \leqslant g(x), \\ g(x), f(x)>g(x),\end{array}, \quad\right.$ (x) $\min \left\{|x|-1, x^2-2 a x+a+2\right\}$, 若 $h(x)=0$ 至少有 3 个不同的解, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[1,2]$
$\text{B.}$ $[2,3]$
$\text{C.}$ $[3,4]$
$\text{D.}$ $[4,5]$
溶液酸碱度是通过 $P H$ 计量的, $P H$ 的计算公式为 $P H=-\lg \left[H^{+}\right]$, 其中 $\left[H^{+}\right]$表示溶液中氢离子的浓度, 单位是摩尔/升. 已知某 溶液的 $P H$ 值为 2.921 , 则该溶液中氢离子的浓度约为 ( 取 $\lg 2=0.301, \lg 3=0.477)$
$\text{A.}$ $1.2 \times 10^{-3}$ 摩尔/升
$\text{B.}$ $1.2 \times 10^{-4}$ 摩尔/升
$\text{C.}$ $6 \times 10^{-3}$ 摩尔/升
$\text{D.}$ $6 \times 10^{-4}$ 摩尔/升
若函数 $f(x)=4 \cos (2 x+\varphi)-2 \sqrt{2}(0 \leq \varphi \leq \pi)$ 在 $\left[0, \frac{11 \pi}{6}\right]$ 内恰有 4 个零点, 则 $\varphi$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{12}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{12}\right]$
$\text{C.}$ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{7 \pi}{12}, \pi\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right] \cup\left[\frac{7 \pi}{12}, \pi\right]$
恩格尔系数 $n=\frac{\text { 食品消费支出总额 }}{\text { 消费支出，总额 }} \times 100 \%$, 国际上常用恩格尔系数 $n$ 来衡量一个地
区家庭的富裕程度, 恩格尔系数越低, 人民生活越富裕. 某地区家庭 2022 年底恩格尔系 数 $n$ 为 $50 \%$, 刚达到小康, 预计从 2023 年起该地区家庭每年消费支出总额增加 $30 \%$, 食 品消费支出总额缯加 $20 \%$, 依据以上数据, 预计该地区家庭恩格尔系数 $n$ 满足 $30 \% < n \leq 40 \%$ 达到富裕水平, 至少经过 ( ) 年 (参考数据: $\lg 0.6 \approx-0.22, \lg 0.8 \approx-0.10, \lg 12 \approx 1.08$, $\lg 13 \approx 1.11)$
$\text{A.}$ 8年
$\text{B.}$ 7年
$\text{C.}$ 4年
$\text{D.}$ 3年
函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 的零点个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知 $a=\log _2 9-\log _2 \sqrt{3}, b=1+\log _2 \sqrt{7}, c=\frac{1}{2}+\log _2 \sqrt{13}$, 则 $a, b, c$ 的 大小关系为
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $b>a>c$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $c>b>a$
函数 $f(x)=\frac{e \ln x^2}{2 x}$ 的图象大致是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 若集合 $A=\left\{x \mid 2 x^2 < \log _a x\right\}, B=\left\{x \mid y=\ln x+\ln \left(\frac{1}{2}-x\right)\right\}$, 且 $A \subsetneq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{4 c}}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{4 e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}},+\infty\right)$
函数 $y=(x-2)^2 \ln |x|$ 的图像是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
若函数 $y=f(x)$ 满足 $f(2-x)+f(x)=2, f(4-x)+f(x)=4$, 设 $f(x)$ 的导函数 为 $f^{\prime}(x)$, 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x^2$, 则 $\sum_{k=1}^{10}\left[f(k)+f^{\prime}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right]=$
$\text{A.}$ 65
$\text{B.}$ 70
$\text{C.}$ 75
$\text{D.}$ 80
已知函数 $f(x)$ 的图像是连续不断的, 其定义域为 $(-1,1)$, 满足: 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$; 任意的 $x, y \in(-1,1)$, 均有 $f(x+y)[1-f(x) f(y)]=f(x)+f(y)$. 若 $f(\ln x)>f\left(\frac{1}{2}\right)$, 则 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right) \cup(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$
$\text{D.}$ $(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$
已知直线 $y=k x+t$ 与函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的图象恰有两个切点, 设满足 条件的 $k$ 所有可能取值中最大的两个值分别为 $k_1$ 和 $k_2$, 且 $k_1>k_2$, 则
$\text{A.}$ $\frac{k_1}{k_2}>\frac{7}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{3} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{7}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{5} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{5}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{k_1}{k_2} < \frac{7}{5}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\sqrt{x}, x>0, \\ a x^2+2 a x+3, x \leqslant 0\end{array}\right.$ 有且仅有 3 个零点 $\alpha, \beta, \gamma$, 若 $\alpha < \beta < \gamma$, 则
$\text{A.}$ $\ln \alpha \beta=\gamma$
$\text{B.}$ $\ln \alpha \beta=\gamma-1$
$\text{C.}$ $\ln \alpha \beta < \gamma-1$
$\text{D.}$ $\ln \alpha \beta < \gamma$
若函数 $f(x)=\frac{d}{a x^2+b x+c}(a, b, c, d \in R)$ 的图象 如图所示, 则 $a: b: c: d=$
$\text{A.}$ $1: 6: 5:(-8)$
$\text{B.}$ $1: 6: 5: 8$
$\text{C.}$ $1:(-6): 5: 8$
$\text{D.}$ $1:(-6): 5:(-8)$
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $R$, 记 $g(x)=f^{\prime}(x)$. 若 $f(x+3)$ 为奇函数, $g\left(\frac{3}{2}+2 x\right)$ 为偶 函数, 且 $g(0)=-3, g(1)=2$, 则 $\sum_{i=1}^{2023} g(i)= $
$\text{A.}$ 670
$\text{B.}$ 672
$\text{C.}$ 674
$\text{D.}$ 676
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x, x>0 \\ e^{2 x}, x \leq 0^{\prime}\end{array}, g(x)=-x^2+2 x\right.$ (其中 $e$ 是自然对数的底数), 若关于 $x$ 的方程 $g(f(x))-m=0$ 恰有三个不等实根 $x_1, x_2, x_3$, 且 $x_1 < x_2 < x_3$, 则 $x_2-2 x_1-2 x_3$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\ln 3-3$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}-\ln 2$
$\text{C.}$ $\ln 2-3$
$\text{D.}$ $-1$
若函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1}{2} x+a^2}+\sqrt{x^2-1}-x$ 有零点, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
若函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}(a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值, 则
$\text{A.}$ $b c>0$
$\text{B.}$ $a b>0$
$\text{C.}$ $b^2+8 a c>0$
$\text{D.}$ $a c < 0$
设函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的零点为 $m, n$, 其中 $m < n$, 若函数 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点为 $p, q$, 且 $p < $ $q$, 下列判断正确的是
$\text{A.}$ 当 $a>0$ 时, $p < m < q < n$, 当 $a < 0$ 时, $m < p < n < q$
$\text{B.}$ 当 $a < 0$ 时, $p < m < q < n$, 当 $a>0$ 时, $m < p < n < q$
$\text{C.}$ $p < m < q < n$
$\text{D.}$ $m < p < n < q$
已知实数 $\lambda>0$, 记函数构成的集合 $A_\lambda=\left\{m(x)\left|\forall x_1, x_2 \in R,\right| m\left(x_2\right)-m\left(x_1\right)| < \lambda| x_2-x_1 \mid\right\}$. 已知实数 $\alpha$ 、 $\beta>0$, 若 $g(x) \in A_\alpha, h(x) \in A_\beta$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $g(x) \cdot h(x) \in A_{\alpha \beta}$
$\text{B.}$ 若 $h(x) \neq 0$, 则 $\frac{g(x)}{h(x)} \in A_{\frac{\partial}{\beta}}$
$\text{C.}$ $g(x)-h(x) \in A_{u-\beta}$
$\text{D.}$ $g(x)+h(x) \in A_{a+\beta}$
已知函数 $f(x)=x^2+2^x+2^{-x}$, 若不等式 $f(1-a x) < f\left(2+x^2\right)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $(-2 \sqrt{3}, 2)$
$\text{B.}$ $(-2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(-2,2 \sqrt{3})$
$\text{D.}$ $(-2,2)$
已知 $a>0$, 若对任意的 $x>0, a \cdot \mathrm{e}^{a x-1} \geqslant \frac{\ln x}{\mathrm{e}}$ 恒成立, 则实数 $a$ 的最小值为
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^2$
$\text{D.}$ $\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$
已知函数 $f(x)=3 \cos (\omega x+\varphi)(\omega>0)$, 若 $f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=3, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$, 在区间 $\left(-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{6}\right)$ 上 没有零点, 则 $\omega$ 的取值共有
$\text{A.}$ 4个
$\text{B.}$ 5个
$\text{C.}$ 6个
$\text{D.}$ 7个
已知函数$f(x)=x+4\sin x$,则曲线$y=f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程为 （ ）
$\text{A.}$ $5x-y=0$
$\text{B.}$ $5x+y=0$
$\text{C.}$ $x-5y=0$
$\text{D.}$ $x+5y=0$
设函数$f(x)=\dfrac{x}{e^x}$,则曲线$y=f(x)$在$(-1,f(-1))$处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 （ ）
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\dfrac{e}{2}$
$\text{C.}$ $\dfrac{e}{4}$
$\text{D.}$ $\dfrac{e}{8}$
已知函数$f(x)=\ln x$的图象在点$(x_1,f(x_1))$与$(x_2,f(x_2))$处的切线互相垂直且交于点$P(x_0,y_0)$,则 （ ）
$\text{A.}$ $x_1x_2=-1$
$\text{B.}$ $x_1x_2=e$
$\text{C.}$ $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
$\text{D.}$ $x_0=\dfrac{2}{x_1+x_2}$
函数$f(x)=x-\frac{6}{x}-5\ln x$的单调递减区间为 （ ）
$\text{A.}$ $(0,2)$
$\text{B.}$ $(2,3)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(3,+\infty)$
若 $\frac{\mathrm{e}^x}{x}+a \ln x-a x+\mathrm{e}^2 \geqslant 0(a>0)$, 则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
二、多选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
.已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 ， $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 ，且 $f(x) ， g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，则
$\text{A.}$ $f(f(1)) < f(f(2))$
$\text{B.}$ $f(g(1)) < f(g(2))$
$\text{C.}$ $g(f(1)) < g(f(2))$
$\text{D.}$ $g(g(1)) < g(g(2))$
已知 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ 分别是定义在 $R$ 上的函数 $f(x), g(x)$ 的导函数, $f(x+1)-g(3-x)=3, f^{\prime}(x-2)=g^{\prime}(x+$ $2)$, 且 $f(x+1)$ 是奇函数, 则
$\text{A.}$ $g(x)$ 的图象关于直线 $x=4$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(-1,0)$ 对称
$\text{C.}$ $\sum_{k=1}^{2025} f(k)=0$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2025} g(k)=0$
已知函数 $f(x)=e^x-\ln (x+m)$, 则下面对函数 $f(x)$ 的描述正确的是
$\text{A.}$ 当 $m=0$ 时, $f(x) < 0$ 无解
$\text{B.}$ 当 $m=3$ 时, $f(x)>-\frac{1}{2}$ 恒成立
$\text{C.}$ 当 $m=3$ 时, $f(x)=-1$ 有解
$\text{D.}$ 当 $m=2$ 时, $f(x)>0$ 恒成立
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin x+\sqrt{3} \cos ^2 \frac{x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 \pi}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y=-\cos x$ 的图象
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象与 $g(x)=\sin \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[2 k \pi+\frac{\pi}{6}, 2 k \pi+\frac{7 \pi}{6}\right](k \in \mathbf{Z})$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有 3 个零点, 则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{8 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}\right]$.
已知 $f(x)(x \in R)$ 为偶函数, 且 $f\left(x-\frac{3}{2}\right)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 恒成立. 当 $x \in[2,3]$ 时 $f(x)=x$. 则下列四个命題中, 正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的周期是 $2 k(k \neq 0, k \in Z)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称
$\text{C.}$ 当 $x \in[-3,-2]$ 时, $f(x)=-x$
$\text{D.}$ 当 $x \in[-2,0]$ 时, $f(x)=3-|x+1|$
函数 $y=\left(k x^2+1\right) \mathrm{e}^x$ 的图象可能是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{|x|}}{x^2}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 的最小值为 $\frac{\mathrm{e}^2}{4}$
$\text{C.}$ 函数 $g(x)=f(x)-a\left(a>\frac{\mathrm{e}^2}{4}\right)$ 有两个零点
$\text{D.}$ 直线 $\mathrm{e} x+y-2 \mathrm{e}=0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线
定义: 对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha(0 < \alpha \leq 1)$, 若存在正数 $M$, 使得不等式 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq$ $M\left|x_1-x_2\right|^\alpha$ 对任意 $x_1, x_2 \in I$ 恒成立, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $1,+\infty)$ 上满足 $\frac{1}{2}$ 阶李普希兹条件.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, e]$ 上满足一阶李普希兹条件, 则 $M$ 的最小值为 2 .
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k(0 < k < 1)$ 的一阶李普希兹条件, 且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_0$, 则 $x_0$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件, 且 $f(0)=f(1)$, 则存在满足条件的函数 $f(x)$, 存在 $x_1, x_2 \in[0,1]$, 使得 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\frac{2}{3}$.
已知 $\lambda>0$, 若关于 $x$ 的方程 $\frac{\mathrm{e}^{x-1}}{x}-\lambda x+\lambda \ln (\lambda x)=0$ 存在正零点, 则实数 $\lambda$ 的值可能为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}$
$\text{D.}$ 2
定义: 对于定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$ 和正数 $\alpha(0 < \alpha \leq 1)$, 若存在正数 $M$, 使得不等式 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq$ $M\left|x_1-x_2\right|^\alpha$ 对任意 $x_1, x_2 \in I$ 恒成立, 则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $\alpha$ 阶李普希兹条件, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $1,+\infty)$ 上满足 $\frac{1}{2}$ 阶李普希兹条件.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)=x \ln x$ 在 $[1, e]$ 上满足一阶李普希兹条件, 则 $M$ 的最小值为 2 .
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上满足 $M=k(0 < k < 1)$ 的一阶李普希兹条件, 且方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上有解 $x_0$, 则 $x_0$ 是方程 $f(x)=x$ 在区间 $[a, b]$ 上的唯一解.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上满足 $M=1$ 的一阶李普希兹条件, 且 $f(0)=f(1)$, 则存在满足条件的函数 $f(x)$, 存在 $x_1, x_2 \in[0,1]$, 使得 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\frac{2}{3}$.