2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)$ 的图像是连续不断的, 其定义域为 $(-1,1)$, 满足: 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$; 任意的 $x, y \in(-1,1)$, 均有 $f(x+y)[1-f(x) f(y)]=f(x)+f(y)$. 若 $f(\ln x)>f\left(\frac{1}{2}\right)$, 则 $x$ 的取值范围是

$ \text{A.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$ $ \text{B.}$ $\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$ $ \text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right) \cup(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$ $ \text{D.}$ $(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$

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答案：

解析：

解: 令 $x=y=0$, 即 $f(0)\left(1-f^2(0)\right)=2 f(0) \Leftrightarrow f(0)\left(-1-f^2(0)\right)=0$,
则 $f(0)=0$, 令 $x=-y$, 即 $f(0)[1-f(x) f(-x)]=f(x)+f(-x)=0$, 则 $f(x)+f(-x)=0$,
结合 $f(x)$ 定义域为 $(-1,1)$ 可知, $f(x)$ 是奇函数,
对于 $f(x+y)[1-f(x) f(y)]=f(x)+f(y)$, 用 $-y$ 替代 $y$, 得到 $f(x-y)[1-f(x) f(-y)]=f(x)+f(-y)$,
结合 $f(x)$ 是奇函数, 上式可化简成 $f(x-y)[1+f(x) f(y)]=f(x)-f(y), \forall x_1, x_2$,
且 $0 < x_2 < x_1 < 1, f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=f\left(x_1-x_2\right)\left[1+f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)\right]$,
结合题目条件: 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$, 于是 $f\left(x_1-x_2\right)>0,1+f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)>0$, 即 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$,
故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上递增, 又 $f(x)$ 是定义域为 $(-1,1)$ 的奇函数,
根据奇函数性质, $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上递增, 根据奇函数性质, $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上递增,
于是 $f(\ln x)>f\left(\frac{1}{2}\right)$ 等价于不等式: $\left\{\begin{array}{l}\ln x>\frac{1}{2} \\ -1 < \ln x < 1\end{array}\right.$, 解得 $x \in(\sqrt{\mathrm{e}, \mathrm{e})}$ 故选: $\mathrm{D}$

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