已知函数 $f(x)$ 的图像是连续不断的, 其定义域为 $(-1,1)$, 满足: 当 $x>0$ 时, $f(x)>0$; 任意的 $x, y \in(-1,1)$, 均有 $f(x+y)[1-f(x) f(y)]=f(x)+f(y)$. 若 $f(\ln x)>f\left(\frac{1}{2}\right)$, 则 $x$ 的取值范围是
A. $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$
B. $\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)$
C. $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right) \cup(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$
D. $(\sqrt{\mathrm{e}}, \mathrm{e})$