已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 若集合 $A=\left\{x \mid 2 x^2 < \log _a x\right\}, B=\left\{x \mid y=\ln x+\ln \left(\frac{1}{2}-x\right)\right\}$, 且 $A \subsetneq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是
A. $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{4 c}}\right]$
B. $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{4 e}},+\infty\right)$
C. $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}}\right]$
D. $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}},+\infty\right)$