已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 若集合 $A=\left\{x \mid 2 x^2 < \log _a x\right\}, B=\left\{x \mid y=\ln x+\ln \left(\frac{1}{2}-x\right)\right\}$, 且 $A \subsetneq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{4 c}}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{4 e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}},+\infty\right)$