题号:
5713
题型:
单选题
来源:
2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷
若函数 $y=f(x)$ 满足 $f(2-x)+f(x)=2, f(4-x)+f(x)=4$, 设 $f(x)$ 的导函数 为 $f^{\prime}(x)$, 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x^2$, 则 $\sum_{k=1}^{10}\left[f(k)+f^{\prime}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right]=$
$ \text{A.}$ 65
$ \text{B.}$ 70
$ \text{C.}$ 75
$ \text{D.}$ 80
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答案：
答案：
A
解析：
解: 由 $f(2-x)+f(x)=2, f(4-x)+f(x)=4$,
可得函数关于点 $(1,1),(2,2)$ 成中心对称, 且 $f(1)=1, f(2)=2$, 如图,
$f(x)$ 为向上攀爬的类周期函数, 且 $f(k)=k\left(k \in N^*\right)$,
$\because$ 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x^2$,
$$
\therefore f^{\prime}(x)=2 x, \therefore f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1 \text {, }
$$
由图象可知, $f^{\prime}\left(k+\frac{1}{2}\right)=f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1, k \in N^*$, 所以 $\sum_{k=1}^{10}\left[f(k)+f^{\prime}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right]=(1+2+\cdots+10)+10=65$. 故选: $A$.
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