2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{|x|}}{x^2}$, 则

$ \text{A.}$ $f(x)$ 为偶函数 $ \text{B.}$ $f(x)$ 的最小值为 $\frac{\mathrm{e}^2}{4}$ $ \text{C.}$ 函数 $g(x)=f(x)-a\left(a>\frac{\mathrm{e}^2}{4}\right)$ 有两个零点 $ \text{D.}$ 直线 $\mathrm{e} x+y-2 \mathrm{e}=0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线

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答案：

ABD

解析：

$\mathbf{A}$ 项: 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$, 且 $f(-x)=\frac{\mathrm{e}^{|-x|}}{(-x)^2}=\frac{\mathrm{e}^{|x|}}{x^2}=f(x)$, 故函数 $f(x)$ 为偶函数, $\mathbf{A}$ 正确;
$B$ 项: 由 $\mathrm{A}$ 项可得 $f(x)$ 为偶函数, 则 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 的最值相等，
故只需求 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 的最值即可.
当 $x>0$ 时, $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x^2}, f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x-2)}{x^3}$,
所以当 $0 < x < 2$ 时, $f^{\prime}(x) < 0, f(x)$ 单调递椷;
当 $x>2$ 吋, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 単调递增.
故 $f(x)$ 在 $x=2$ 时取得最小值,
所以 $f(x)$ 的最小值为 $f(2)=\frac{\mathrm{e}^2}{4}, \mathbf{B}$ 正确；
$\mathrm{C}$ 项: 由 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 项可得, $f(x)$ 为偶函数,
当 $x>0$ 时, $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 单调递减,
在区间 $(2,+\infty)$ 单调递增，且最小值为 $\frac{\mathrm{e}^2}{4}$,
又 $x \rightarrow 0^{+}$时 $f(x) \rightarrow+\infty$,
$x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow+\infty$,
所以 $f(x)$ 的大致图象如图所示,

所以函数 $g(x)$ 有四个零点, $\mathbf{C}$ 错误;
D 项: 当 $x>0$ 时, 设切点为 $\left(x_0, y_0\right)$,
由 $f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x-2)}{x^3}$ 可得切线斜率 $k=\frac{\mathrm{e}^{x_0}\left(x_0-2\right)}{x_0^3}$,

若直线 $\mathrm{e} x+y-2 \mathrm{e}=0$ 与曲线 $y=f(x)$ 㕲切, 则 $\frac{\mathrm{e}^{x_0}\left(x_0-2\right)}{x_0^3}=-\mathrm{e}$, 解得 $x_0=1$,
则切点坐标为 $(1, \mathrm{e})$,
故切线方程为 $e x+\gamma-2 e=0$, D 正确.

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