2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\sqrt{x}, x>0, \\ a x^2+2 a x+3, x \leqslant 0\end{array}\right.$ 有且仅有 3 个零点 $\alpha, \beta, \gamma$, 若 $\alpha < \beta < \gamma$, 则

$ \text{A.}$ $\ln \alpha \beta=\gamma$ $ \text{B.}$ $\ln \alpha \beta=\gamma-1$ $ \text{C.}$ $\ln \alpha \beta < \gamma-1$ $ \text{D.}$ $\ln \alpha \beta < \gamma$

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答案：

解析：

当 $x>0$ 胿, 令 $\frac{1}{x}-\sqrt{x}=0$,
解得 $x=1$, 即 $\gamma=1$;
当 $x \leqslant 0$ 时,
方程 $a x^2+2 a x+3=0$ 有两个不等负实根 $\alpha, \beta$,

$$
\begin{aligned}
& \Delta=4 a^2-12 a>0, \\
& \text { 所以 }\left\{\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-2 < 0, \\
\alpha \beta=\frac{3}{a}>0,
\end{array} \text { 解得 } a>3,\right. \\
& \text { 又 }-2 < \alpha < -1 < \beta < 0 < \gamma=1 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

所以 $\ln \alpha \beta=\ln \frac{3}{a} < 0=\gamma-1$.

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