在锐角三角形 $A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $\frac{a}{2}+a \cos B=\frac{c}{2}$, 则 $\frac{\tan B-\tan A}{2 \tan A \cdot \tan B}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$