若 $f(x)=|\sin x+\sqrt{3} \cos x|+|\sqrt{3} \sin x-\cos x|$, 则下列说法正确的是
A. $f(x)$ 的最小正周期是 $\pi$
B. $f(x)$ 的对称轴方程为 $x=\frac{k \pi}{4}-\frac{\pi}{12}(k \in \mathbf{Z})$
C. 存在实数 $a$, 使得对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都存在 $x_1 、 x_2 \in\left[-\frac{5 \pi}{12}, 0\right]$ 且 $x_1 \neq x_2$, 满足 $[f(x)]^2-$ $a f(x) f\left(x_k\right)+1=0(k=1,2)$
D. 若函数 $g(x)=2 f(x)+b, x \in\left[0, \frac{25 \pi}{12}\right]$ ( $b$ 是实常数), 有奇数个零点 $x_1, x_2, \cdots, x_{2 n}$, $x_{2 n+1}(n \in \mathrm{N})$, 则 $x_1+2\left(x_2+x_3+\cdots+x_{2 n}\right)+x_{2 n+1}=\frac{25 \pi}{3}$