设 $a=\sin 7$, 则
$ \text{A.} $ $a^2 < 2^a < \log _2|a|$ $ \text{B.} $ $\log _2|a| < 2^a < a^2$ $ \text{C.} $ $a^2 < \log _2|a| < 2^a$ $ \text{D.} $ $\log _2|a| < a^2 < 2^a$
【答案】 D

【解析】 $a=\sin 7=\sin (7-2 \pi)$. 因为 $\frac{\pi}{6} < 7-2 \pi < \frac{\pi}{4}$, 所以 $\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以 $\frac{1}{4} < a^2 < \frac{1}{2}$; 因为 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数, 所以 $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} < 2^a < 2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$;
因为 $y=\log _2 x$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数, 且 $\frac{1}{2} < |a| < \frac{\sqrt{2}}{2}$,
所以 $\log _2 \frac{1}{2} < \log _2 a \mid < \log _2 \frac{\sqrt{2}}{2}$, 即 $-1 < \log _2|a| < -\frac{1}{2}$ ;
所认 $\log _2|a| < a^2 < 2^a$. 故选 D.
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解答题 来源:2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
某省为调査北部城镇 2021 年国民生产总值, 抽取了 20 个城镇进行分析, 得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2$, $\cdots, 20$ ), 其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $\mathrm{i}$ 个城镇的人口 (单位: 万人) 和该城镇 2021 年国民生产总值(单位: 亿 元), 计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=100, \sum_{i=1}^{20} y_{i}=800, \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=70, \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=280, \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=120$. (1) 请用相关系数 $r$ 判断该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间线性相关关系的强弱 (若 $|r| \in[0.75,1]$, 相关性较强; 若 $|r| \in[0.30,0.75)$, 相关性一般; 若 $r \in[-0.25,0.25]$, 相关性较弱); (2) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程; (3) 若该省北部某城镇 2021 年的人口约为 5 万人, 根据(2)中的线性回归方程估计该城镇 2021 年的国 民生产总值. 参考公式: 相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$, 对于一组具有线性相关关系的数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$, 其回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $$ \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}, \quad \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x} $$