2022年江苏省百校联考高三年级第一次考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $a=\sin 0.1, b=\ln 1.1, c=e^{0.1}-1$, 则

$ \text{A.}$ $c < b < a$ $ \text{B.}$ $a < b < c$ $ \text{C.}$ $c < a < b$ $ \text{D.}$ $b < a < c$

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答案：

解析：

$a=\sin 0.1 < 0.1$ 且 $b=\ln 1.1 < 1.1-1=0.1, c=e^{0.1}-1 > 0.1, \therefore c$ 最大构造 $f(x)=\sin x-\ln (1+x)$, $x \in(0,1)$
$$
\therefore f^{\prime}(x)=\cos x-\frac{1}{1+x} > 1-\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{1+x}=\frac{2+2 x-x^2(1+x)-2}{2(1+x)}=\frac{x\left(2-x-x^2\right)}{2(1+x)}=\frac{-x(x+2)(x-1)}{2(1+x)} > 0, \therefore
$$
$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上 $， \therefore f(0.1) > f(0)=0 \Rightarrow \sin 0.1 > \ln 1.1$, 即 $a > b, \therefore c > a > b$, 选 D.

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