题号:2810    题型:单选题    来源:百师联盟2022-2023学年高三上学期一轮复习联考(二)全国卷理科数学
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{b c \cdot \sin A}$, 且 $\sin (C-B)=\frac{1}{2} \sin A$, 则 $c^2-b^2=(\quad)$
$A.$ 1 $B.$ $\frac{3}{2}$ $C.$ 2 $D.$ $\frac{5}{2}$
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答案:
B

解析:

$\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{b c \cdot \sin A}$, 化简得 $\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{3}{b c \cdot \sin A}$, 由正弦定理、余弦定理,得 $\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}}{b}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}}{c}=\frac{3}{a b c}$, 化简得 $a=\sqrt{3}, \sin (C-B)=\frac{1}{2} \sin A=\frac{1}{2} \sin (C+B)$, 整理得 $\sin C \cos B=3 \sin B \cos C$, 则 $c \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}=3 b \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}, 2\left(c^2-b^2\right)=a^2=3$, 所以 $c^2-b^2=\frac{3}{2}$, 故选 B.
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