已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 记 $g(x)=f(1+x)-x$, 若 $f^{\prime}(x)$ 为奇 函数, $g(x)$ 为偶函数, 则 $f^{\prime}(2023)=$
$ \text{A.} $ 2021 $ \text{B.} $ 2022 $ \text{C.} $ 2023 $ \text{D.} $ 2024
【答案】 C

【解析】 【解析】 $\because g(x)$ 为偶函数, $\therefore g(x)=g(-x)$, 即 $f(1+x)-x=f(1-x)+x$, 两边同时对 $x$ 求导 得 $f^{\prime}(1+x)-1=-f^{\prime}(1-x)+1$,
即 $f^{\prime}(1+x)+f^{\prime}(1-x)=2$,
令 $x=0$, 则 $f^{\prime}(1)=1$,
$\because f^{\prime}(x)$ 为奇函数 $\therefore f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x)$, 又 $f^{\prime}(1$ $+x)+f^{\prime}(1-x)=2$, 即 $f^{\prime}(x)=2-f^{\prime}(2-x)$, 联立. $f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x)$ 得 $-f^{\prime}(-x)=2-f^{\prime}(2$ $-x)$, 即 $f^{\prime}(x+2)=f^{\prime}(x)-2$,
$\therefore f^{\prime}(2023)=f^{\prime}(2 \times 1011+1)=f^{\prime}(1)+2 \times$ $1011=2023$, 故选 C.
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