在 $\triangle A B C$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C=120^{\circ}, P$ 为平面 $A B C$ 内一点, 则 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的 最小值是
$ \text{A.} $ $-1$ $ \text{B.} $ $-2$ $ \text{C.} $ $-3$ $ \text{D.} $ $-4$
【答案】 C

【解析】 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得 $B C^2=A B^2+A C^2-2 A B \cdot A C \cos \angle B A C$, 即 12 $=4+A C^2-2 \times 2 A C \cos 120^{\circ}$, 解得 $A C=2$, 取 $B C$ 的中点 $O$, 连接 $A O$, 则 $A O$ $\perp B C$, 以 $O$ 为坐标原点, $B C$ 为 $x$ 轴, $O A$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如 图所示. 所以 $A(0,1), B(-\sqrt{3}, 0), C(\sqrt{3}, 0)$, 设 $P(x, y)$, 所以 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=$ $(-x, 1-y)+(-\sqrt{3}-x,-y)=(-2 x-\sqrt{3},-\mathbb{P y}+1), \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}=$ $(-x, 1-y)+(\sqrt{3}-x,-y)=(-2 x+\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\vec{y}+1)$, 所以 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot$ $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})=4 x^2+(2 y-1)^2-3 \geqslant-3$, 当且仅当 $x=0, y=\frac{1}{2}$ 时等号成立, 即 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的最 小值是 $-3$. 故选 C.
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填空题 来源:广西柳州市高级中学南宁第三中学2022高三联考(文科数学)
某大型房地产公司对该公司 140 名一线销售员工每月进行一次目标考核, 对该月内签单总数达 到 10 单及以上的员工投予该月 “金牌销售” 称号, 其余员工称为“普通销售”, 下表是该房地产公 司 140 名员工 2022 年 1 月至 5 月获得“金牌销售” 称号的统计数据: [img=/uploads/2022/8254d8.jpg][/img] (1) 由表中看出, 可用线性回归模型拟合“金牌销售” 员丁数 $y$ 与月份 $x$ 之间的关系, 求 $y$ 关于 $x$ 的 回归直线方程 $y=b x+a $, 并预测该房地产公司 6 月份犾得 “金牌销售” 称号的员工人数; (2) 为了进一步了解员工们的销售情况, 选取了员工们在 3 月份的销售数据进行分析, 统计结果如下: [img=/uploads/2022/5af25d.jpg][/img] 请补充上表中的数据 (直接写出 $m, n$ 的值), 并根据上表判断是否有 $95 \%$ 的把握认为获得“金牌 销售” 称号与性别有关? 参考数据 $$ \begin{aligned} K^2= & \frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \\ & (\text { 其中 } n=a+b+c+d) . \end{aligned} $$ [img=/uploads/2022/50924f.jpg][/img]