在 $\triangle A B C$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C=120^{\circ}, P$ 为平面 $A B C$ 内一点, 则 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的 最小值是
$ \text{A.} $ $-1$
$ \text{B.} $ $-2$
$ \text{C.} $ $-3$
$ \text{D.} $ $-4$
【答案】 C
【解析】
在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得 $B C^2=A B^2+A C^2-2 A B \cdot A C \cos \angle B A C$, 即 12 $=4+A C^2-2 \times 2 A C \cos 120^{\circ}$, 解得 $A C=2$, 取 $B C$ 的中点 $O$, 连接 $A O$, 则 $A O$ $\perp B C$, 以 $O$ 为坐标原点, $B C$ 为 $x$ 轴, $O A$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如 图所示. 所以 $A(0,1), B(-\sqrt{3}, 0), C(\sqrt{3}, 0)$, 设 $P(x, y)$, 所以 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=$ $(-x, 1-y)+(-\sqrt{3}-x,-y)=(-2 x-\sqrt{3},-\mathbb{P y}+1), \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}=$ $(-x, 1-y)+(\sqrt{3}-x,-y)=(-2 x+\sqrt{3}$, $\sqrt{2}+\vec{y}+1)$, 所以 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot$ $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})=4 x^2+(2 y-1)^2-3 \geqslant-3$, 当且仅当 $x=0, y=\frac{1}{2}$ 时等号成立, 即 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}) \cdot(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C})$ 的最 小值是 $-3$. 故选 C.