题号:2875    题型:单选题    来源:2023届皖南八校第一次大联考数学试题
若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left(\sin 830^{\circ}, \cos 430^{\circ}\right)$, 且 $\tan \alpha+\tan 2 \alpha+m \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha=\sqrt{3}$, 则实数 $m$ 的值为
$A.$ $-\sqrt{3}$ $B.$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $C.$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $D.$ $\sqrt{3}$
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答案:
D

解析:

$\sin 830^{\circ}=\sin 70^{\circ}=\cos 20^{\circ}, \cos 430^{\circ}=\cos 70^{\circ}=\sin 20^{\circ}, \therefore P\left(\cos 20^{\circ}, \sin 20^{\circ}\right), \therefore \cos \alpha=\cos 20^{\circ}, \sin \alpha=$ $\sin 20^{\circ}, \tan \alpha=\tan 20^{\circ}, \tan 2 \alpha=\tan 40^{\circ}, \tan 3 \alpha=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}, \tan \alpha+\tan 2 \alpha=\tan 3 \alpha \cdot(1-\tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha)$,
$\therefore \tan 3 \alpha-\tan 3 \alpha \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha+m \cdot \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha=\sqrt{3}$.
$\therefore \sqrt{3}-\sqrt{3} \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha+m \cdot \tan \alpha \cdot \tan 2 \alpha=\sqrt{3}$
$\therefore m=\sqrt{3}$. 故选 D.
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