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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)

在

(0, \frac{π}{4})

上单调递增, 且

f (\frac{π}{2}) = f (π)

, 则

ω =

A.

\frac{5}{3}

B.

\frac{4}{3}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{1}{3}

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2. 已知

θ \in (\frac{3 π}{4}, π)

, 且

\cos θ - \sin θ = - \frac{\sqrt{7}}{2}

, 则

2 \sin (\frac{π}{4} + θ) =

A.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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3. 已知

\sin θ + 2 \cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{5}{4}

, 则

\sin 2 θ =

A.

- \frac{15}{16}

B.

\frac{15}{16}

C.

- \frac{3}{4}

D.

\frac{3}{4}

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4. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

图象上相邻两条对称轴之间的距离为

\frac{π}{2}

, 将函数

y = f (x)

的图象向左平移

\frac{π}{3}

个单位后, 得到的图象关于

y

轴对称, 则函数

f (x)

的一个零点是

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{12}

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{5 π}{12}

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5. 已知

\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}

, 则

\sin (2 α + \frac{π}{6}) =

A.

\frac{24}{25}

B.

- \frac{24}{25}

C.

\frac{7}{25}

D.

- \frac{7}{25}

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6. 已知点

P (- 3, 4)

是角

α

终边上一点, 则

\frac{\sin 2 α + 2 \sin^{2} α}{1 + \tan α}

的值为

A.

- \frac{24}{25}

B.

\frac{24}{25}

C.

- \frac{18}{25}

D.

\frac{18}{25}

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7. 在

△ A B C

中, 若

\frac{b \cdot \cos C}{c \cdot \cos B} = \frac{1 - \cos 2 B}{1 - \cos 2 C}

, 则

△ A B C

的形状为

A.

等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等腰直角三角形

D.

等腰三角形或直角三角形

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8. 在

△ A B C

中,

B = \frac{π}{3}, B C

边上的高等于

\frac{\sqrt{3}}{6} B C

, 则

\cos A

的值为

A.

- \frac{\sqrt{7}}{28}

B.

- \frac{\sqrt{7}}{14}

C.

\frac{\sqrt{7}}{14}

D.

\frac{\sqrt{7}}{7}

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9. 若

\cos α - \sin α = - \frac{1}{2}

, 则

\frac{\sin α \cos α}{\tan^{2} (α - \frac{π}{4})} =

A.

- \frac{21}{4}

B.

\frac{21}{4}

C.

- \frac{21}{8}

D.

\frac{21}{8}

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10. 已知函数

f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})

的一条对称轴为直线

x = \frac{π}{12}

, 则要得到函数

F (x) = f^{'} (x) - f (x + \frac{π}{12})

的图象, 只需把函数

f (x)

的图象

A.

沿

x

轴向左平移

\frac{π}{3}

个单位, 纵坐标伸长为原来的

\sqrt{3}

倍

B.

沿

x

轴向右平移

\frac{π}{3}

个单位, 纵坐标伸长为原来的

\sqrt{3}

倍

C.

沿

x

轴向左平移

\frac{π}{6}

个单位, 纵坐标伸长为原来的

\sqrt{3}

倍

D.

沿

x

轴向右平移

\frac{π}{6}

个单位, 纵坐标伸长为原来的

\sqrt{3}

倍

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11. 已知

\cos 2 x = - \frac{1}{3}

, 则

\cos^{2} (x - \frac{π}{6}) + \cos^{2} (x + \frac{π}{6})

的值为

A.

\frac{9}{16}

B.

\frac{5}{6}

C.

\frac{13}{20}

D.

\frac{17}{24}

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12. 已知

\cos 2 x = - \frac{1}{3}

, 则

\cos^{2} (x - \frac{π}{6}) + \cos^{2} (x + \frac{π}{6})

的值为

A.

\frac{9}{16}

B.

\frac{5}{6}

C.

\frac{13}{20}

D.

\frac{17}{24}

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13. 将函数

f (x) = \sin (2 x + ϕ)

的图象沿

x

轴向左平移

\frac{π}{8}

个单位后, 得到一个偶函数的图象, 则

ϕ

的一个可能取值为

A.

\frac{π}{4}

B.

\frac{3 π}{8}

C.

- \frac{π}{4}

D.

\frac{3 π}{4}

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14. 已知

α

为锐角，

\cos α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

，则

\sin \frac{α}{2} =

A.

\frac{3 - \sqrt{5}}{8}

B.

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}

C.

\frac{3 - \sqrt{5}}{4}

D.

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

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15. 已知

\sin (α - β) = \frac{1}{3}, \cos α \sin β = \frac{1}{6}

, 则

\cos (2 α + 2 β) =

A.

\frac{7}{9}

B.

\frac{1}{9}

C.

- \frac{1}{9}

D.

- \frac{7}{9}

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16. 已知

f (x)

为函数

y = \cos (2 x + \frac{π}{4})

向左平移

\frac{π}{6}

个单位所得函数，则

y = f (x)

与

y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}

，交点个数为

A.

B.

C.

D.

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17. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ)

在区间

(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})

单调递增, 直线

x = \frac{π}{6}

和

x = \frac{2 π}{3}

为函数

y = f (x)

的图像的两条对称轴, 则

f (- \frac{5 π}{12}) =

A.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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18. 已知

x, y > 0

, 满足

x + \sqrt{2} y = x y

, 则

A.

x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最小值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 6^{\frac{1}{4}})

B.

x + y - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最大值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 7^{\frac{1}{4}})

C.

x + y - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最小值为

2 (\sqrt{2} + 1 + 6^{\frac{1}{4}})

D.

x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最大值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 7^{\frac{1}{4}})

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19. 若

\tan α = 2

, 则

\frac{2 \sin α - \cos α}{\sin α + 2 \cos α}

的值为

A.

B.

\frac{3}{4}

C.

D.

\frac{5}{4}

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20. 已知

\sin (\frac{π}{6} - α) = \frac{\sqrt{2}}{3}

, 则

\cos (2 α - \frac{4 π}{3})

等于

A.

- \frac{5}{9}

B.

\frac{5}{9}

C.

- \frac{1}{3}

D.

\frac{1}{3}

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21. 已知点

P (4, 3)

是角

α

的终边上一点. 则

\tan \frac{a}{2} =

A.

\frac{1}{3}

B.

\pm \frac{1}{3}

C.

3 或

\frac{1}{3}

D.

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22. 已知

\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}, \sin (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13}, α \in (\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), β \in (0, \frac{π}{4})

, 则

\sin (α + β)

的值为

A.

\frac{56}{65}

B.

\frac{33}{65}

C.

- \frac{16}{65}

D.

- \frac{63}{65}

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23. 已知

△ A B C

中,

A C = 2, \sin A = \tan B, A \in (0, \frac{π}{3}]

, 则边

A B

的最小值为

A.

B.

C.

2 + \sqrt{3}

D.

\frac{5}{2}

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24. 计算下列各式, 结果为

\sqrt{3}

的是

A.

\sqrt{2} \sin 15^{\circ} + \sqrt{2} \cos 15^{\circ}

B.

\cos^{2} 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ}

C.

\frac{\tan 15^{\circ}}{1 - \tan^{2} 15^{\circ}}

D.

\frac{1 + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 15^{\circ}}

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25. 要得到函数

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})

的图象, 可以将函数

g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{12})

的图象

A.

向左平移

\frac{π}{4}

个単位

B.

向左平移

\frac{π}{8}

个单位

C.

向右平移

\frac{π}{4}

个単位

D.

向右平移

\frac{π}{8}

个单位

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26. 已知角

α

的顶点为坐标原点，始边与

x

轴的非负半轴重合，点

A (x_{1}, 2)

B (x_{2}, 4)

在

α

的终边上，且

x_{1} - x_{2} = 1

,则

\tan α =

（　　）

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

-2

D.

- \frac{1}{2}

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27. 如图，角

α

的始边与

x

轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点

A (x_{1}, y_{1})

,角

β = α + \frac{2 π}{3}

的始边与角

α

的始边重合，且终边与单位圆交于点

B (x_{2}, y_{2})

,记

f (α) = y_{1} - y_{2}

,若

α

为锐角,则

f (α)

的取值范围是（　　）

A.

(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

B.

(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

C.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

D.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})

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28. 已知角

α

的始边与

x

轴非负半轴重合,终边上一点

P (\sin 3, \cos 3)

,若

0 \leq α \leq 2 π

,则

α =

（　　）

A.

3

B.

\frac{π}{2} - 3

C.

\frac{5 π}{2} - 3

D.

3 - \frac{π}{2}

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29. 已知

\sin^{2} (π - θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{3 π}{2} + θ)

,且

0 < | θ | < \frac{π}{2}

,则

θ

等于（　　）.

A.

- \frac{π}{6}

B.

- \frac{π}{3}

C.

\frac{π}{6}

D.

\frac{π}{3}

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30. 已知角

α

的终边与单位圆的交点为

P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})

,则

\cos (\frac{3 π}{2} + α)

=（　　）.

A.

\frac{4}{5}

B.

- \frac{4}{5}

C.

- \frac{3}{5}

D.

\frac{3}{5}

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31. 如图，在平面直角坐标系内，角

α

的始边与

x

轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点

P_{1} (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

，若线段

O P_{n - 1}

绕点

O

逆时针旋转得到

O P_{n} (n \geq 2, n \in N^{*})

,则点

P_{2023}

的纵坐标为（　　）.

A.

- \frac{4}{5}

B.

- \frac{3}{5}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{4}{5}

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32. 已知

\cos (\frac{5 π}{12} + α) = \frac{1}{3}

,且

- π < α < - \frac{π}{2}

,则

\cos (\frac{π}{12} - α) =

（　　）

A.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

B.

\frac{1}{3}

C.

- \frac{1}{3}

D.

- \frac{2 \sqrt{2}}{3}

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33. 若

\sin 10 ° = a \sin 100 °

,则

\sin 20 ° =

（　　）.

A.

\frac{a}{a^{2} + 1}

B.

- \frac{a}{a^{2} + 1}

C.

\frac{2 a}{a^{2} + 1}

D.

- \frac{2 a}{a^{2} + 1}

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34. 已知

\cos α = \frac{1}{3}

,则

\sin α \sin 2 α =

（　　）

A.

\frac{1}{27}

B.

\frac{2}{27}

C.

\frac{8}{27}

D.

\frac{16}{27}

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35. 已知

α

为锐角,

\cos α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}

,则

\sin \frac{α}{2} =

（　　）

A.

\frac{3 - \sqrt{5}}{8}

B.

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}

C.

\frac{3 - \sqrt{5}}{4}

D.

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

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36.

\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =

（　　）

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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37. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都有广泛应用，0.618就是黄金分割比

m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

的近似值，黄金分割比还可以表示成

2 \sin 18 °

,则

\frac{2 m \sqrt{4 - m^{2}}}{2 \cos^{2} 27 ° - 1} =

（　　）.

A.

B.

\sqrt{5} + 1

C.

D.

\sqrt{5} - 1

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38. 已知

a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 1 ° - \sin 1 °)

b = \frac{1 - \tan^{2} 22.5 °}{1 + \tan^{2} 22.5 °}

c = \sin 22 ° \cos 24 ° + \cos 22 ° \sin 24 °

,则

a

b

c

的大小关系为（　　）.

A.

b > a > c

B.

c > b > a

C.

c > a > b

D.

b > c > a

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39. 已知

\sin (x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{3}

, 则

\cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) =

A.

- \frac{7}{9}

B.

- \frac{2}{9}

C.

\frac{2}{9}

D.

\frac{7}{9}

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40. 若

α \in (0, \frac{π}{2})

β \in (0, \frac{π}{2})

,且

(1 + \cos 2 α) (1 + \sin β) = \sin 2 α \cos β

,则下列结论正确的是（　　）

A.

α + β = \frac{π}{2}

B.

α + \frac{β}{2} = \frac{π}{2}

C.

2 α - β = \frac{π}{2}

D.

α - β = \frac{π}{2}

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