2023年普通高等学校招生全国统一考试答案模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若 $\cos \alpha-\sin \alpha=-\frac{1}{2}$, 则 $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\tan ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=$

$ \text{A.}$ $-\frac{21}{4}$ $ \text{B.}$ $\frac{21}{4}$ $ \text{C.}$ $-\frac{21}{8}$ $ \text{D.}$ $\frac{21}{8}$

答案：

解析：

因为 $(\cos \alpha-\sin \alpha)^2=\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha-2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{4}$,
所以 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{3}{8}$.
$$
\begin{aligned}
\text { 又 } \sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) & =\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi}{4} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha-\cos \alpha)=\frac{\sqrt{2}}{4},
\end{aligned}
$$
所以 $\cos ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=1-\sin ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{8}$,
故 $\tan ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{7}$.
所以 $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\tan ^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{3}{8} \times 7=\frac{21}{8}$.

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