题号:5782    题型:单选题    来源:2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题
已知 $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$, 且 $\cos \theta-\sin \theta=-\frac{\sqrt{7}}{2}$, 则 $2 \sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=$
$ \text{A.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \text{B.}$ $-\frac{1}{2}$ $ \text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $ \text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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答案:
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A

解析:

解: 因为 $\cos \theta-\sin \theta=-\frac{\sqrt{7}}{2}$, 所以 $(\cos \theta-\sin \theta)^2=\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta-2 \sin \theta \cos \theta=1-\sin 2 \theta=\frac{7}{4}$,
所以 $\sin 2 \theta=-\frac{3}{4}$..则 $1+\sin 2 \theta=\frac{1}{4}=(\cos \theta+\sin \theta)^2$. 因为 $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$, 所以 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) < 0$
故 $2 \sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\sqrt{2}(\cos \theta+\sin \theta)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故选: A.
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