记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{S_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{2}{s_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$.
(1) 证明: 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;
（2）求 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式.
设函数 $f(x)=x-x \ln x$. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0 < a_{1} < 1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$.
（I） 证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1 ）$ 是增函数;
(II ) 证明: $a_{n} < a_{n+1} < 1$;
（III）设 $b \in\left(a_{1}, 1\right)$, 整数 $k \geqslant \frac{a_{1}-b}{a_{1} \ln b}$. 证明: $a_{k+1}>b$.
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$.
（1）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列, $a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项.
(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比;
(2) 若 $a_{1}=1$, 求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 讨 $n$ 项和. 已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列:
(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等孝数列:
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式:
(2) 证明: $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \frac{1}{a_{n}} < 2$
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$.
(I) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(II) 记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 求证: $S_{n} S_{n+2} < S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$;
(III) 对任意的正整数 $n$, 设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数, } \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}} & n \text { 为偶数. }\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和.
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+1$.
(1) 证明 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 是等比数列, 并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和公式.
已知公差大于 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$, 且 $a_1, a_2, a_4$ 成等比数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 令 $b_n=2^{a_{2 n}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
设 $S_n$ 是等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $S_3=14, S_6=126$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $b_n=(n-1) a_n$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $T_n$.
已知数列 $\left\{a_n \right\}$ 满足 $$
a_{n+1} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
a_n+1, n \text { 为奇数时 } \\
a_n-2, n \text { 为偶数时 }
\end{array}\right.
$$, $a_1=1$
若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的奇数项组成的数列, $\left\{c_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的偶数项组成的数列, 求出 $c_1, c_2, c_3$, 并证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 22 项和.
已知公比的绝对值大于 1 的无穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中的前三项恰为 $-32,-2$, 3,8 中的三个数, $S_n$ 为数列 $\left\{(2 n+1) a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1) 求 $S_n$;
（2）设数列 $\left\{\frac{10 \times(-4)^{n-1}}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求证: $-\frac{10}{9} \leq T_n \leq-\frac{30}{31}$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均不为 0 , 其前 $n$ 项的乘积 $T_n=2^{n-1} \cdot a_{n+1}$.
(I) 若 $\left\{a_n\right\}$ 为常数列, 求这个常数;
(II) 若 $a_1=4$, 设 $b_n=\log _2 a_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1, S_{n+1}=4 a_n$.
(I) 证明: 数列 $\left\{\frac{S_n}{2^{n-1}}\right\}$ 为等差数列;
(II) 求数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1+a_2=4$, 且 $a_1, a_2+2, a_3$ 成等差数列, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n>0, b_1=$ $1, b_{n+1}^2-b_n^2=2\left(b_{n+1}+b_n\right)$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=2^{b_n}-a_n$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
己知正项数列 $\left\{a_n\right\}$, 其前 $n$ 项和 $S_n$满足 $ a_n \left(2 S_n-a_n\right)=n, n \in N^*$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\cdots+\frac{1}{S_n^2} < 2$.
已知数列 $\left\{\ln a_n\right\}$ 是等差数列, 记 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $\left\{S_n+a_1\right\}$ 是等比数列, $a_1=1$.
(1) 求 $a_n$;
(2) 记 $b_n=\log _2 a_{2 n-1}+\log _2 a_{2 n}$, 求数列 $\left\{(-1)^n \cdot b_n{ }^2\right\}$ 的前 10 项和.
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2, a_2=6, a_3=12$, 且数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=a_n \cos n \pi$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=1$, 且 $\frac{S_n}{S_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=\frac{a_n}{3^{a_n-1}}$, 且数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求证: $T_n < \frac{9}{4}$.
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$, 满足 $S_n=2 a_n-2\left(n \in \mathrm{N}^*\right)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $n !$.
$$
(n !=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n)
$$
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 令 $c_n=a_n b_n$, 求数列 $\left\{\frac{c_{n+2}}{c_n c_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等比数列. 设其公比为 $q$, 前 $n$ 项和为 $S_n$, 并且唡足 $a_1+a_5=34,8$ 是 $a_2$ 与 $a_4$ 的等比中项.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=n \cdot a_n, T_n$ 是 $b_n$ 的前 $n$ 项和, 求使 $T_n-n \cdot 2^{n+1}>-100$ 成立的最大正整数 $n$ 的值.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=-1$, 公差 $d>1$. 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.
(1) 若 $S_4-2 a_2 a_3+6=0$, 求 $S_n$;
(2) 若对于每个 $n \in \mathbf{N}^*$, 存在实数 $c_n$, 使 $a_n+c_n, a_{n+1}+4 c_n, a_{n+2}+15 c_n$ 成等比数列, 求 $d$ 的取值范围.
正项数列 $\left\{a_n \mid\right.$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $6 S_n=a_n^2+3 a_n+2$, 且 $a_1>1$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设数列 $\left\{b_n \mid\right.$ 满足 $a_n\left(3^{b_n}-1\right)=3, T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 求 $3^{T_{100}}$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且 $a_1=1 ， a_n=T_{n-1}(n \geq 2)$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $m$ 为整数，且对任意 $n \in \mathbf{N}^* ， m \geq \frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\cdots+\frac{n}{a_n}$ ，求 $m$ 的最小值.
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1+a_5=10, S_7=49$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(2) 若 $b_n=(-1)^{n+1} S_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 100 项和.
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=a_2=1$, 且 $a_{n+2}+(-1)^{\prime \prime} a_n=4$.
(1)令 $b_n=a_{2 n-1}$, 证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2)记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $S_n$, 求 $S_{23}$.
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=\frac{4}{9},(3 n+9) \cdot(n+1)^2 a_{n+1}=(n+2)^3 a_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 设 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 证明: $S_n < \frac{5}{4}-\frac{2 n+5}{4 \cdot 3^n}$.
在数列 $\left\{q_n\right\}$ 中 $q_1=2, q_{n+1}=2-\frac{1}{q_n}$, 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n}}=q_n$.
(1) 求证数列 $\left\{\frac{1}{q_n-1}\right\}$ 成等差数列并求 $q_n$;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}+\frac{1}{a_{2 n}} < 3-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.