题号:1056    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国甲卷)
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和,已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等孝数列:
(2)若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
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答案:
(1) 由已知得 $2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n$. 当 $n=1$ 时, 原式恒成立:
当 $n \geq 2$ 时, $2 S_{n-1}+(n-1)^{2}=2(n-1) a_{n-1}+(n-1)$ :
两式相减得: $2 a_{n}+2 n-1=2 n a_{n}-2(n-1) a_{n-1}+1$,
整理得: $(2 n-2) a_{n}=(2 n-2) a_{n-1}+(2 n-2)$,
因为 $n \geq 2$, 故 $2 n-2 > 0$, 所以 $a_{n}-a_{n-1}=1(n \geq 2)$,
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列。


(2) 由 (1) $d=1$ : 由题意 $a_{7}^{2}=a_{4} a_{9}$, 即 $\left(a_{1}+6\right)^{2}=\left(a_{1}+3\right)\left(a_{1}+8\right)$, 化简得: $a_{1}=-12$.
故 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=-12 n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2} n^{2}-\frac{25}{2} n=\frac{1}{2}\left(n-\frac{25}{2}\right)^{2}-\frac{625}{8}$
因为 $n \in N^{*}$, 所以 $n=12$ 或 $n=13$ 时, $\left(S_{n}\right)_{\min }=-78$.
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