题号:1032    题型:填空题    来源:2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国甲卷)
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 讨 $n$ 项和. 已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列:
(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
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答案:
(1) 由于 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$, 变形为
$2 S_{n}=2 n a_{n}+n-n^{2}$, 记为(1)式,

又 $2 S_{n-1}=2(n-1) a_{n-1}+n-1-(n-1)^{2}$, 记为(2)式,

(1)-(2)可得 $(2 n-2) a_{n}-(2 n-2) a_{n-1}=2 n-2, n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{*}$
即 $a_{n}-a_{n-1}=1, n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{*}$, 所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列;


(2) 由题意可知 $a_{7}^{2}=a_{4} a_{9}$, 即 $\left(a_{1}+6\right)^{2}=\left(a_{1}+3\right)\left(a_{1}+8\right)$, 解得 $a_{1}=-12$, 所以 $a_{n}=-12+(n-1) \times 1=n-13$, 其中 $a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{12} < 0, a_{13}=0$
则 $S_{n}$ 的是小值为 $S_{12}=S_{13}=-78$.
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