记 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, 面积为 $\sqrt{3}, \mathrm{~B}=60^{\circ}, \mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}=3 \mathrm{ac}$, 则 $b=$
若 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, 则函数 $y=\tan 2 x \tan ^{3} x$ 的最大值为 （ ）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{B}=60^{\circ}, \mathrm{AC}=\sqrt{3}$, 则 $\mathrm{AB}+2 \mathrm{BC}$ 的最大值为 （ ）
设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值, 则 $\cos \theta=$
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$. 当 $\frac{A C}{A B}$ 取 得最小值时, $B D=$
已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $B C$ 上, $\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$, 当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时,
$$
B D=
$$
已知 $\tan (\pi-\theta)=2, \theta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$.
(1)求 $\sin \theta, \cos \theta$ 的值;
（2）求$\frac{4 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right)}{3 \sin (\pi-\theta)+5 \cos (2 \pi-\theta)}$ 的值.
已知 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \sin \alpha=\frac{3}{5}, \tan (\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$, 则 $\tan \beta=$
在 $\triangle A B C$ 中, $\tan B=4 \tan A$, 则当 $B-A$ 取最大值时, $\sin C=$
若函数 $f(x)=(x+a) \sin x$ 在 $x=\pi$ 时取得极值, 则 $a=$
设函数 $f(x)=\sin \omega x+\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$, 已知 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上有 且仅有 3 个极值点, 则 $\omega$ 的取值范围是
已知角 $a$ 的顶点在坐标原点 $O$, 始边与 $x$ 轴的非负半轴重合, 将角 $a$ 的终边绕 $O$ 点逆时针旋转 $\frac{\pi}{12}$ 后, 经 过点 $(1,-3)$, 则 $\cos \left(a+\frac{\pi}{3}\right)=$
若 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度得到 $y=\cos 2 x$ 的图象, 则 $\varphi$ 的值可以是 . (写出满足条件的一个值即可)
写出一个最小正周期为 3 的奇函数 $f(x)=$
函数 $f(x)=\cos 2 x \sin x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的最大值为
已知等边三角形 $A B C$ 的边长为 6 , 点 $P$ 满足 $3 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$, 则 $|\overrightarrow{P A}|=$
函数 $f(x)=\sin 2 x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的最小值是
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且满足 $b \sin \frac{B+C}{2}=a \sin B$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $a=4, \triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$. 已知 $\frac{b}{a}=\sin C+\cos C$.
( I ) 求 $A$ 的大小;
(II) 若 $2 \sqrt{2} \sin B=3 \sin C$, 再从下列条件(1), 条件(2)中任选一个作为已知, 求 $\triangle A B C$ 的面积. 条件(1): $a \sin C=2$; 条件(2) $a c=2 \sqrt{10}$.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
化简： $ \cos x \cos 2 x \cos 4 x \cdots \cos 2^n x $
我国南宋著名数学家秦九韶, 发现了从三角形三边求面积的公式, 他把这种方法称为“三斜 求积", 它填补了我国传统数学的一个空白. 如果把这个方法写成公式, 就是 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2 a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$, 其中 $a, b, c$ 是三角形的三边, $S$ 是三角形的面积. 设 某三角形的三边 $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, c=2$, 则该三角形的面积 $S=$