三角函数25

数学

一、填空题（共 21 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 记

△ ABC

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 面积为

\sqrt{3}, B = 60^{\circ}, a^{2} + c^{2} = 3 ac

, 则

b =

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2. 若

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}

, 则函数

y = \tan 2 x \tan^{3} x

的最大值为（　　）

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3. 在

△ ABC

中,

B = 60^{\circ}, AC = \sqrt{3}

, 则

AB + 2 BC

的最大值为（　　）

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4. 设当

x = θ

时，函数

f (x) = \sin x - 2 \cos x

取得最大值, 则

\cos θ =

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5. 已知

△ A B C

中, 点

D

在边

B C

上,

∠ A D B = 120^{\circ}, A D = 2, C D = 2 B D

. 当

\frac{A C}{A B}

取得最小值时,

B D =

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6. 已知

△ A B C

中, 点

D

在边

B C

上,

∠ A D B = 120^{\circ}, A D = 2, C D = 2 B D

, 当

\frac{A C}{A B}

取得最小值时,

B D =

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7. 已知

\tan (π - θ) = 2, θ \in (\frac{π}{2}, π)

.
(1)求

\sin θ, \cos θ

的值;

（2）求

\frac{4 \cos (\frac{π}{2} - θ) - \sin (\frac{3 π}{2} + θ)}{3 \sin (π - θ) + 5 \cos (2 π - θ)}

的值.

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8. 已知

0 < α < \frac{π}{2}, \sin α = \frac{3}{5}, \tan (α - β) = - \frac{1}{3}

, 则

\tan β =

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9. 在

△ A B C

中,

\tan B = 4 \tan A

, 则当

B - A

取最大值时,

\sin C =

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10. 若函数

f (x) = (x + a) \sin x

在

x = π

时取得极值, 则

a =

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11. 设函数

f (x) = \sin ω x + \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)

, 已知

f (x)

在

[0, π]

上有且仅有 3 个极值点, 则

ω

的取值范围是

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12. 已知角

a

的顶点在坐标原点

O

, 始边与

x

轴的非负半轴重合, 将角

a

的终边绕

O

点逆时针旋转

\frac{π}{12}

后, 经过点

(1, - 3)

, 则

\cos (a + \frac{π}{3}) =

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13. 若

y = \cos (2 x + \frac{π}{3})

的图象向右平移

φ (φ > 0)

个单位长度得到

y = \cos 2 x

的图象, 则

φ

的值可以是 . (写出满足条件的一个值即可)

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14. 写出一个最小正周期为 3 的奇函数

f (x) =

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15. 函数

f (x) = \cos 2 x \sin x

在

(0, \frac{π}{2})

上的最大值为

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16. 已知等边三角形

A B C

的边长为 6 , 点

P

满足

3 \vec{P A} + 2 \vec{P B} + \vec{P C} = 0

, 则

| \vec{P A} | =

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17. 函数

f (x) = \sin 2 x + \sin (x + \frac{π}{2}) + \cos (x + \frac{π}{2})

的最小值是

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18. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且满足

b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B

.
(1) 求

A

;
(2) 若

a = 4, △ A B C

的面积为

4 \sqrt{3}

, 求

△ A B C

的周长.

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19. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

所对边分别为

a, b, c

. 已知

\frac{b}{a} = \sin C + \cos C

.
( I ) 求

A

的大小;
(II) 若

2 \sqrt{2} \sin B = 3 \sin C

, 再从下列条件(1), 条件(2)中任选一个作为已知, 求

△ A B C

的面积. 条件(1):

a \sin C = 2

; 条件(2)

a c = 2 \sqrt{10}

.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

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20. 化简：

\cos x \cos 2 x \cos 4 x \dots \cos 2^{n} x

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21. 我国南宋著名数学家秦九韶, 发现了从三角形三边求面积的公式, 他把这种方法称为“三斜求积", 它填补了我国传统数学的一个空白. 如果把这个方法写成公式, 就是

S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}

, 其中

a, b, c

是三角形的三边,

S

是三角形的面积. 设某三角形的三边

a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}, c = 2

, 则该三角形的面积

S =

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