记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$. 已知 $\frac{b}{a}=\sin C+\cos C$.
( I ) 求 $A$ 的大小;
(II) 若 $2 \sqrt{2} \sin B=3 \sin C$, 再从下列条件(1), 条件(2)中任选一个作为已知, 求 $\triangle A B C$ 的面积. 条件(1): $a \sin C=2$; 条件(2) $a c=2 \sqrt{10}$.
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
【答案】 解: ( I ) $\because \frac{b}{a}=\sin C+\cos C$,
由正弦定理知 $\frac{\sin B}{\sin A}=\sin C+\cos C$, 即 $\sin B=\sin A \sin C+\sin A \cos C$.
在 $\triangle A B C$ 中, 由 $B=\pi-(A+C)$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C=\sin A \sin C+\sin A \cos C . \\
& \therefore \cos A \sin C=\sin A \sin C . \because C \in(0, \pi), \therefore \sin C \neq 0 . \\
& \therefore \sin A=\cos A . \\
& \because A \in(0, \pi), \therefore A=\frac{\pi}{4} .
\end{aligned}
$$

(II) 若选择条件(1), 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$, 得 $a \sin C=c \sin A=\frac{\sqrt{2}}{2} c=2$. $\therefore c=2 \sqrt{2}$.
又 $2 \sqrt{2} \sin B=3 \sin C$, 即 $2 \sqrt{2} b=3 c$.
$$
\begin{aligned}
& \therefore b=3 . \\
& \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 3 \times 2 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4}=3 .
\end{aligned}
$$
若选择条件(2), 由 $2 \sqrt{2} \sin B=3 \sin C$, 即 $2 \sqrt{2} b=3 c$.
设 $c=2 \sqrt{2} m, b=3 m(m > 0)$.
则 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A=5 m^2 . \therefore a=\sqrt{5} m$.
由 $a c=2 \sqrt{10}$, 得 $m=1$.
$$
\begin{aligned}
& \therefore a=\sqrt{5}, b=3, c=2 \sqrt{2} . \\
& \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 3 \times 2 \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4}=3 .
\end{aligned}
$$


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