导数22

数学

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + θ), (ω > 0, | θ | < \frac{π}{2}), x = \frac{π}{6}

是

f (x)

的一个极值点,

x = - \frac{π}{6}

是与其相邻的一个零点, 则

f (\frac{π}{3})

的值为

A.

B.

C.

- 1

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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2. 设

a = \log_{6} 5, b = {(\log_{6} 4)}^{2}, c = \log_{5} 6

, 则

A.

a < c < b

B.

b < c < a

C.

a < b < c

D.

b < a < c

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3. 已知函数

f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}

, 若不等式

f (1 - a x) < f (2 + x^{2})

对任意

x \in R

恒成立, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- 2 \sqrt{3}, 2)

B.

(- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})

C.

(- 2, 2 \sqrt{3})

D.

(- 2, 2)

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4. 若

\frac{e^{x}}{x} + a \ln x - a x + e^{2} ⩾ 0 (a > 0)

, 则

a

的取值范围为

A.

(0, e^{2}]

B.

(0, \frac{e^{2}}{2}]

C.

[\frac{1}{e}, e^{2}]

D.

[\frac{1}{e}, \frac{e^{2}}{2}]

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5. 下列方程中不能用二分法求近似解的为

A.

\ln x + x = 0

B.

e^{x} - 3 x = 0

C.

x^{3} - 3 x + 1 = 0

D.

4 x^{2} - 4 \sqrt{5} x + 5 = 0

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6. 已知函数

f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1}) + \cos (x - 1) - 1

有唯一零点, 则

a =

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

- \frac{1}{3}

D.

\frac{1}{3}

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7. 已知函数

f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} + x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

, 若实数

x, y

满足

f (x^{2}) + f (2 y^{2} - 1) = 2

, 则

x \sqrt{1 + y^{2}}

的最大值为

A.

\frac{3 \sqrt{2}}{2}

B.

\frac{3 \sqrt{2}}{4}

C.

\frac{5 \sqrt{2}}{4}

D.

\frac{5 \sqrt{3}}{4}

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二、填空题（共 22 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 若函数

f (x) = (1 - x^{2}) (x^{2} + a x + b)

的图象关于直线

x = - 2

对称, 则

f (x)

的最大值为

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9. 若函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (a x - x^{2})

在

(2, 3)

单调递增, 则实数

a

的取值范围是

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10. 已知函数

f (x) = {\begin{array}{cc} | 4^{x} - 1 |, & x ⩽ 1, \\ \log_{2} x + 3, & x > 1, \end{array}

集合

M = {x ∣ f^{2} (x) - (2 t + \frac{1}{2}) f (x) + t = 0}

, 若集合

M

中有 3 个元素, 则实数

t

的取值范围是

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11. 请写出一个同时满足下列条件(1)(2)(3)的函数

f (x) =

(1)

f (0) = 0

; (2)对任意

x_{1}, x_{2} \in R

, 当

x_{1} < x_{2}

时,

f (x_{1}) < f (x_{2})

; (3)

f (x) < 1

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12. 求满足方程

\log_{2} (3 x + 2) = 2 + \log_{2} (x - 2)

的

x

值

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13. 已知

a > 0

, 函数

f (x) = \sqrt{2} a \cos x + e^{x}

在

(0, + \infty)

上存在两个极值点, 则

a

的取值范围为

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14. 若函数

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}} - a (\frac{3}{x} + \ln x)

只有一个极值点, 则

a

的取值范围是

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15. 已知函数

f (x) = 2^{- x} + 1

, 且

g (x) = {\begin{cases} \log_{2} (x + 1), x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{cases}

, 则方程

g (x) = 2

的解为

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16. 若

a = \frac{{(1 - \log_{6} 3)}^{2} + \log_{6} 2 \cdot \log_{6} 18}{\log_{\sqrt{6}} 2}

, 则

a

的值为

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17. 已知函数

f (x) = (x + 1) (x + a) x^{4}

为

R

上的偶函数, 则

a =

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18. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} (2 x - 3) e^{x}, x > 0 \\ e x - a, x \leq 0 \end{cases}

, 若

f (x_{1}) = f (x_{2})

, 且

| x_{1} - x_{2} |

的最大值为 4 , 则实数

a

的值为

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19. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + x + 1, x ⩾ 0 \\ 2 x + 1, x < 0 \end{cases}

若

f (m) < f (2 - m^{2})

，则m的取值范围是

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20. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} k x + 3, x ⩾ 0, \\ (\frac{1}{2}) x, x < 0, \end{cases}

若方程

f (f (x)) - 2 = 0

恰有三个实数根,
则实数

k

的取值范围是

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21. 已知定义在

R

上的函数

f (x)

满足

f (x) = 2 f (x - 2)

, 当

x \in [- 1, 1)

时,

f (x) = 2^{| x |} - \frac{3}{2}

. 若

g (x) = \log_{2} x, \exists a \in [3, 5)

, 且对

\forall b

都满足

f (a) = g (b)

, 则

b

的取值范围是

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22. 在同一平面直角坐标系中,

P, Q

分别是函数

f (x) = a x e^{x} - \ln (a x)

和

g (x) = \frac{2 \ln (x - 1)}{x}

图象上的动点, 若对任意

a > 0

, 有

| P Q | ⩾ m

恒成立, 则实数

m

的最大值为

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23. 已知函数

f (x)

及其导函数

f^{'} (x)

的定义域均为

R

, 且满足

f (x) = f (- x) - 2 x, x > 0

时,

f^{'} (x) + 1 > 0

. 若不等式

f (x + \ln a) > f (x) - \ln a

在

[- 2, + \infty)

上恒成立, 则

a

的取值范围是

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24. 已知

f (x) = 1 + \log_{2} x (1 \leq x \leq 4)

, 设函数

g (x) = f^{2} (x) + f (x^{2})

, 则

g (x)_{max} - g (x)_{min} =

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25. 若函数

f (x) = a x^{3} - 3 e^{x} + 2023 (a \in R)

有且仅有一个极值点, 则

a

的取值范围是

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26. 已知函数

f (x) = {\begin{matrix} e^{- 2 x} - 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{2} \ln (x + 1), x > 0 \end{matrix}

. 若

x (f (x) - a | x |) \leq 0

, 则

a

的取值范围是

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27. 函数

f (x) = x^{2} - \frac{a}{2} \ln x - \frac{x}{2} (a \in R)

在

[\frac{1}{16}, 1]

内不存在极值点, 则

a

的取值范围是

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28. 若过点

A (a, 2 a)

与曲线

f (x) = x \ln x

相切的直线有两条, 则实数

a

的取值范围是

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29. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 4 x + a, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} + a + 1, x > 0 \end{cases}

, 若函数

g (x) = f (x) - a x - 1

在

R

上恰有三个不同的零点, 则

a

的取值范围是

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