已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\theta),\left(\omega>0,|\theta| < \frac{\pi}{2}\right), x=\frac{\pi}{6}$ 是 $f(x)$ 的一个极值点, $x=-\frac{\pi}{6}$ 是与其相邻的一个零点, 则 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
设 $a=\log _6 5, b=\left(\log _6 4\right)^2, c=\log _5 6$, 则
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $a < b < c$
$\text{D.}$ $b < a < c$
已知函数 $f(x)=x^2+2^x+2^{-x}$, 若不等式 $f(1-a x) < f\left(2+x^2\right)$ 对任意 $x \in R$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $(-2 \sqrt{3}, 2)$
$\text{B.}$ $(-2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(-2,2 \sqrt{3})$
$\text{D.}$ $(-2,2)$
若 $\frac{\mathrm{e}^x}{x}+a \ln x-a x+\mathrm{e}^2 \geqslant 0(a>0)$, 则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{\mathrm{e}^2}{2}\right]$
下列方程中不能用二分法求近似解的为
$\text{A.}$ $\ln x+x=0$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-3 x=0$
$\text{C.}$ $x^3-3 x+1=0$
$\text{D.}$ $4 x^2-4 \sqrt{5} x+5=0$
已知函数 $f(x)=x^2-2 x+a\left(e^{x-1}+\mathrm{e}^{-x+1}\right)+\cos (x-1)-1$ 有唯一零点, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-\mathrm{e}^{1-x}+x^3-3 x^2+3 x$, 若实数 $x, y$ 满足 $f\left(x^2\right)+f\left(2 y^2-1\right)=2$, 则 $x \sqrt{1+y^2}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称, 则 $f(x)$ 的最大值为
若函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(a x-x^{2}\right)$ 在 $(2,3)$ 单调递增, 则实数 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left|4^{x}-1\right|, & x \leqslant 1, \\ \log _{2} x+3, & x>1,\end{array}\right.$ 集合 $M=\left\{x \mid f^{2}(x)-\left(2 t+\frac{1}{2}\right) f(x)+t=0\right\}$, 若集合$M$中有 3 个元素, 则实数 $t$ 的取值范围是
请写出一个同时满足下列条件(1)(2)(3)的函数 $f(x)=$ (1) $f(0)=0$; (2)对任意 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$, 当 $x_1 < x_2$ 时, $f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$; (3) $f(x) < 1$.
求满足方程 $\log _2(3 x+2)=2+\log _2(x-2)$ 的 $x$ 值
已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\sqrt{2} a \cos x+\mathrm{e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在两个极值点, 则 $a$ 的取值范围为
若函数 $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3}-a\left(\dfrac{3}{x}+\ln x\right)$ 只有一个极值点, 则 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=2^{-x}+1$, 且 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _2(x+1), x \geq 0 \\ f(-x), x < 0\end{array}\right.$, 则方程 $g(x)=2$ 的解为
若 $a=\dfrac{\left(1-\log _6 3\right)^2+\log _6 2 \cdot \log _6 18}{\log _{\sqrt{6}} 2}$, 则 $a$ 的值为
已知函数 $f(x)=(x+1)(x+a) x^4$ 为 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 则 $a=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(2 x-3) \mathrm{e}^x, x>0 \\ e x-a, x \leq 0\end{array}\right.$, 若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, 且 $\left|x_1-x_2\right|$ 的最大值为 4 , 则 实数 $a$ 的值为
已知函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^2+x+1, x \geqslant 0 \\
2 x+1, x < 0
\end{array}\right. $ 若 $f(m) < f(2-m^2)$， 则m的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+3, x \geqslant 0, \\ \left(\frac{1}{2}\right) x, x < 0,\end{array}\right.$ 若方程 $f(f(x))-2=0$ 恰有三个实数根,
则实数 $k$ 的取值范围是
已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2 f(x-2)$, 当 $x \in[-1,1)$ 时,$f(x)=2^{|x|}-\frac{3}{2}$. 若 $g(x)=\log _2 x, \exists a \in[3,5)$, 且对 $\forall b$ 都满足 $f(a)=g(b)$, 则 $b$的取值范围是
在同一平面直角坐标系中, $P, Q$ 分别是函数 $f(x)=a x \mathrm{e}^x-\ln (a x)$ 和 $g(x)=\frac{2 \ln (x-1)}{x}$
图象上的动点, 若对任意 $a>0$, 有 $|P Q| \geqslant m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的最大值为
已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且满足 $f(x)=f(-x)-2 x, x>0$ 时, $f^{\prime}(x)+1>0$. 若不等式 $f(x+\ln a)>f(x)-\ln a$ 在 $[-2,+\infty)$ 上恒成立, 则 $a$ 的取 值范围是
已知 $f(x)=1+\log _2 x(1 \leq x \leq 4)$, 设函数 $g(x)=f^2(x)+f\left(x^2\right)$, 则 $g(x)_{\max }-g(x)_{\min }=$
若函数 $f(x)=a x^3-3 \mathrm{e}^x+2023(a \in \mathbf{R})$ 有且仅有一个极值点, 则 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{-2 x}-1, x \leq 0 \\ \frac{1}{2} \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$. 若 $x(f(x)-a|x|) \leq 0$, 则 $a$ 的取值范围是
函数 $f(x)=x^2-\frac{a}{2} \ln x-\frac{x}{2}(a \in \mathbf{R})$ 在 $\left[\frac{1}{16}, 1\right]$ 内不存在极值点, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是
若过点 $A(a, 2 a)$ 与曲线 $f(x)=x \ln x$ 相切的直线有两条, 则实数 $a$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+4 x+a, x \leq 0 \\ \frac{1}{x}+a+1, x>0\end{array}\right.$, 若函数 $g(x)=f(x)-a x-1$ 在 $\mathbf{R}$ 上恰有三个不同的零点, 则 $a$ 的取 值范围是