导数19

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知函数

f (x) = (\frac{1}{x} + \frac{1}{2}) \ln (x + 1)

.
(1) 求曲线

y = f (x)

在

x = 2

处切线的斜率;
（2）当

x > 0

时, 证明:

f (x) > 1

;
(3) 证明:

\frac{5}{6} < \ln (n!) - (n + \frac{1}{2}) \ln (n) + n \leq 1

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2. 已知函数

f (x) = \ln x - x^{2} + x

.
(1) 证明

f (x) ⩽ 0

;
(2) 关于

x

的不等式

\frac{x^{2}}{e^{a x^{2}}} - \frac{x}{e^{x}} + \ln x - a x^{2} + x ⩽ 0

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

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3. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x - 1

.
(1) 当

a = 1

时,求

f (x)

的单调区间;
(2) 证明: 当

a ⩽ 2

时,

f (x) > 1 - (\sin x + \cos x)

对任意的

x \in (0, + \infty)

恒成立.

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4. 已知函数

f (x) = e^{e^{x - t} - t}

.
(1) 若

f (x)

在

(t, f (t))

处的切线方程平行于直线

x - y + 1 = 0

, 求

t

的值以及此时的切线方程;
(2) 若方程

f (x) = x

在

(0, + \infty)

上有两个不同的实数根, 求实数

t

的取值范围.

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5. 已知函数

f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a > 0)

.
(I) 求函数

f (x)

的极值;
(II) 若函数

f (x)

有两个不相等的零点

x_{1}, x_{2}

,
(i) 求

a

的取值范围;
(ii) 证明:

x_{1} + x_{2} > 2 \ln a

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6. 已知函数

f (x) = (x^{2} + m x + n) e^{x}

.
(1) 若

m = n = 0

, 求

f (x)

的单调区间;
(2) 若

m = a + b + 2, n = a^{2} + b^{2} + 2

, 且

f (x)

有两个极值点, 分别为

x_{1}

和

x_{2} (x_{1} < x_{2})

, 求

\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{e^{x_{2}} - e^{x_{1}}}

的最小值.

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7. 已知函数

f (x) = \log_{a} x

, 其中

0 < a < 1

.
(1) 若不等式

f (x) ⩾ 1 - x

恒成立, 求实数

a

的值;
(2) 讨论方程

f (x) = a^{x}

的解的个数.

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8. 已知函数

f (x) = \ln (x + 1), g (x) = a x e^{x} - 2 \ln a + 3 \ln 2 + 3

.
(1)当

x \in (- 1, 0) \cup (0, + \infty)

时, 求证:

\frac{f (x)}{x} > - \frac{1}{2} x + 1

;
(2) 若

x \in (- 1, + \infty)

时,

g (x) \geq f (x)

, 求实数

a

的取值范围.

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9. 已知函数

f (x) = \frac{\ln x}{x} + a (x - 1), a \in R

.
(1) 试讨论

f (x)

的极值点的个数;
(2) 若

g (x) = x f (x)

, 且对任意的

x \in [1, + \infty)

都有

g (x) ⩽ 0

, 求

a

的取值范围.

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10. 已知关于

x

的方程

a x - \ln x = 0

有两个不相等的正实根

x_{1}

和

x_{2}

, 且

x_{1} < x_{2}

.
(1) 求实数

a

的取值范围;
(2) 设

k

为常数,当

a

变化时, 若

x_{1}^{k} x_{2}

有最小值

e^{e}

, 求常数

k

的值.

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11. 已知函数

f (x) = a (e^{x} + a) - x

.
(1)讨论

f (x)

的单调性;
(2)证明: 当

a > 0

时,

f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}

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12. 已知函数

f (x) = e^{x} \sin x - x

.
(1) 当

x ⩽ \frac{π}{2}

时, 求证:

f (x) ⩾ 0

;
(2) 当

x > 0

时, 函数

f (x)

的零点从小到大依次排列, 记为

{x_{n}} (n \in N^{*})

证明: ①

\sin x_{n} > \sin x_{n + 1}

; ②

x_{2 n - 1} + π < 2 n π < x_{2 n}

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13. 已知函数

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1 (a, b \in R)

在

x = 1

处取得极值 0 .
(1) 求

a, b

;
(2) 若过点

(1, m)

存在三条直线与曲线

y = f (x)

相切, 求实数

m

的取值范围.

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14. 已知函数

f (x) = e^{a x} - e \frac{\ln x}{x} - e a (x > 0)

.
(1) 当

a = 1

时, 求函数

g (x) = e^{a x - 1} - \frac{f (x)}{e} + x - a

的单调区间:
(2) 证明: 当

a < - e^{- 2}

时, 不等式

f (x) > 0

恒成立.

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15. 已知

f (x) = a x^{2} - a x - \frac{1}{x} - \ln x + e^{1 - x} (a > 0)

.
(I) 若当

x = 1

时函数

f (x)

取到极值, 求

a

的值;
(II)讨论函数

f (x)

在区间

(1, + \infty)

上的零点个数.

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16. 已知函数

f (x) = x | x - a | (0 < a < 7)

.
(I) 求函数

f (x)

的单调递减区间;
(II) 若

\exists b \in R

, 使不等式

- x + b ⩽ f (x) ⩽ k x + b

对

\forall x \in [1, 7]

恒成立, 求

k

的最小值

g (a)

及

g (a)

的最小值.

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17. 已知函数

f (x) = e^{x} + a x^{2}

.
(1) 若曲线

y = f (x)

在点

(1, f (1))

处的切线经过坐标原点, 求

a

的值;
(2) 若关于

x

的方程

f (x) = x + 1

恰有 2 个不同的实数根, 求

a

的取值范围.

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18. 已知函数

f (x) = \ln x, f^{'} (x)

表示

f (x)

的导函数,

0 < a < b

, 证明:
(1)

(b - a) f^{'} (b) < f (b) - f (a) < (b - a) f^{'} (a)

;
(2) 若

\frac{1}{2} \leq λ < 1

, 则

f (b) - f (a) < [λ f^{'} (a) + (1 - λ) f^{'} (b)] (b - a)

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19. 已知函数

f (x) = \frac{2 x^{2} + a x - 1}{e^{x}}

, 若曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处向切线方程为

2 x + b y - 1 = 0

.
(1) 求

f (x)

的解析式;
(2) 求

f (x)

在区间

[- 1, 3]

上的最值.

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20. 已知函数

f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x, a \in R

.
(1) 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 已知

f (x)

有两个极值点

x_{1}, x_{2}

, 且

x_{1} < x_{2}

, 证明:

2 f (x_{1}) - f (x_{2}) \geq - 1 - 3 \ln 2

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21. 已知函数

f (x) = e^{- x} - 2 a x (x \in R), g (x) = \ln (x + 1) - 1

.
(1) 当

a = - \frac{1}{2}

时, 求函数

f (x)

的最小值;
(2) 若

x ⩾ 0

时,

f (- x) + g (x) ⩾ 0

, 求实数

a

的取值范围.

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22. 已知函数

f (x) = \ln (m x), m

是大于 0 的常数. 记曲线

y = f (x)

在点

(x_{1}, f (x_{1}))

处的切线为

l

l

在

x

轴上的截距为

x_{2}, x_{2} > 0

(I) 当

x_{1} = \frac{1}{e}, m = 1

时求切线

l

的方程;
(II) 证明:

| x_{1} - \frac{1}{m} | \geq | x_{2} - \frac{1}{m} |

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23. 已知函数

f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} (a > 0)

.
(1) 若函数

f (x)

在定义域内为减函数, 求实数

a

的取值范围;
(2)若函数

f (x)

有两个极值点

x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})

, 证明:

x_{1} x_{2} < \frac{1}{a}

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24. 已知函数

f (x) = x e^{x + 1} - a x, F (x) = \ln x

.
(1) 当

a = 1

时, 过点

(1, 0)

与函数

f (x)

相切的直线有几条?
(2) 若

f (x) = a F (x)

有两个交点, 求实数

a

的取值范围.

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25. 已知函数

f (x) = 3 a - x - (x + 1) \ln (x + 1), g (x) = a^{2} e^{x} + \frac{1}{2} (2 - a) x^{2} - 3 a x (x > - 1)

1 ⩽ a ⩽ 6, g (x)

的导函数记为

g^{'} (x)

e

为自然对数的底数, 约为 2.718 .
(1) 判断函数

f (x)

的零点个数;
(2) 设

x_{1}

是函数

f (x)

的一个零点,

x_{2}

是函数

g (x)

的一个极值点, 证明:
(1)

- 1 < x_{2} < 1 < x_{1}

;
(2)

f (x_{2}) < g^{'} (x_{1})

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26. 设函数

f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{x}}

.
(I) 证明: 函数

f (x)

在

(0, 1]

上单调递减;
(II) 求函数

g (x) = f (x) + f (1 - x) + a \sqrt{x (1 - x)} (a \in R)

的值域.

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27. 已知函数

f (x) = \ln x + x^{2} + \infty x + 2

在点

(2, f (2))

处的切线与直线

2 x + 3 y = 0

垂直.
(1) 求

a

;
(2) 求

f (x)

的单调区间和极值.

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28. 已知函数

f (x) = e^{x} - \ln (x + m) - m (m \in R)

.
(1) 若

m = 1

, 求函数

f (x)

的极值;
(2) 若

f (x)

有两个零点, 求

m

的取值范围.

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29. 已知函数

f (x) = \ln x + a x - a^{2} x^{2} (a \geq 0)

.
(1) 若

x = 1

是函数

y = f (x)

的极值点, 求

a

的值;
(2) 求函数

y = f (x)

的单调区间.

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