已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率;
（2）当 $x>0$ 时, 证明: $f(x)>1$;
(3) 证明: $\frac{5}{6} < \ln (n !)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$.
已知函数 $f(x)=\ln x-x^2+x$.
(1) 证明 $f(x) \leqslant 0$;
(2) 关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^2}{\mathrm{e}^{a x^2}}-\frac{x}{\mathrm{e}^x}+\ln x-a x^2+x \leqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x-1$.
(1) 当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: 当 $a \leqslant 2$ 时, $f(x)>1-(\sin x+\cos x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x-t}-t}$.
(1) 若 $f(x)$ 在 $(t, f(t))$ 处的切线方程平行于直线 $x-y+1=0$, 求 $t$ 的 值以及此时的切线方程;
(2) 若方程 $f(x)=x$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的实数根, 求实数 $t$ 的取 值范围.
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{\mathrm{e}^x}(a>0)$.
(I) 求函数 $f(x)$ 的极值;
(II) 若函数 $f(x)$ 有两个不相等的零点 $x_1, x_2$,
(i) 求 $a$ 的取值范围;
(ii) 证明: $x_1+x_2>2 \ln a$.
已知函数 $f(x)=\left(x^2+m x+n\right) \mathrm{e}^x$.
(1) 若 $m=n=0$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若 $m=a+b+2, n=a^2+b^2+2$, 且 $f(x)$ 有两个极值点, 分别为 $x_1$ 和 $x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 求 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{\mathrm{e}^{x_2}-\mathrm{e}^{x_1}}$ 的最小值.
已知函数 $f(x)=\log _a x$, 其中 $0 < a < 1$.
(1) 若不等式 $f(x) \geqslant 1-x$ 恒成立, 求实数 $a$ 的值;
(2) 讨论方程 $f(x)=a^x$ 的解的个数.
已知函数 $f(x)=\ln (x+1), g(x)=a x e^x-2 \ln a+3 \ln 2+3$.
(1)当 $x \in(-1,0) \cup(0,+\infty)$ 时, 求证: $\frac{f(x)}{x}>-\frac{1}{2} x+1$;
(2) 若 $x \in(-1,+\infty)$ 时, $g(x) \geq f(x)$, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}+a(x-1), a \in \mathbf{R}$.
(1) 试讨论 $f(x)$ 的极值点的个数;
(2) 若 $g(x)=x f(x)$, 且对任意的 $x \in[1,+\infty)$ 都有 $g(x) \leqslant 0$, 求 $a$ 的取值范围.
已知关于 $x$ 的方程 $a x-\ln x=0$ 有两个不相等的正实根 $x_1$ 和 $x_2$, 且 $x_1 < x_2$.
(1) 求实数 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $k$ 为常数,当 $a$ 变化时, 若 $x_1^k x_2$ 有最小值 $\mathrm{e}^{\mathrm{e}}$, 求常数 $k$ 的值.
已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^x+a\right)-x$.
(1)讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2)证明: 当 $a>0$ 时, $f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x-x$.
(1) 当 $x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时, 求证: $f(x) \geqslant 0$;
(2) 当 $x>0$ 时, 函数 $f(x)$ 的零点从小到大依次排列, 记为 $\left\{x_n\right\}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$
证明: ① $\sin x_n>\sin x_{n+1}$; ② $x_{2 n-1}+\pi < 2 n \pi < x_{2 n}$.
已知函数 $f(x)=a x^3+b x^2+1(a, b \in \mathbf{R})$ 在 $x=1$ 处取得极值 0 .
(1) 求 $a, b$;
(2) 若过点 $(1, m)$ 存在三条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切, 求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e} \frac{\ln x}{x}-\mathrm{e} a(x>0)$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求函数 $g(x)=\mathrm{e}^{a x-1}-\frac{f(x)}{\mathrm{e}}+x-a$ 的单调区间:
(2) 证明: 当 $a < -\mathrm{e}^{-2}$ 时, 不等式 $f(x)>0$ 恒成立.
已知 $f(x)=a x^2-a x-\frac{1}{x}-\ln x+\mathrm{e}^{1-x}(a>0)$.
(I) 若当 $x=1$ 时函数 $f(x)$ 取到极值, 求 $a$ 的值;
(II)讨论函数 $f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上的零点个数.
已知函数 $f(x)=x|x-a|(0 < a < 7)$.
(I) 求函数 $f(x)$ 的单调递减区间;
(II) 若 $\exists b \in \mathbf{R}$, 使不等式 $-x+b \leqslant f(x) \leqslant k x+b$ 对 $\forall x \in[1,7]$ 恒成立, 求 $k$ 的最小值 $g(a)$ 及 $g(a)$的最小值.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+a x^2$.
(1) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线经过坐标原点, 求 $a$ 的值;
(2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=x+1$ 恰有 2 个不同的实数根, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\ln x, f^{\prime}(x)$ 表示 $f(x)$ 的导函数, $0 < a < b$, 证明:
(1) $(b-a) f^{\prime}(b) < f(b)-f(a) < (b-a) f^{\prime}(a)$;
(2) 若 $\frac{1}{2} \leq \lambda < 1$, 则 $f(b)-f(a) < \left[\lambda f^{\prime}(a)+(1-\lambda) f^{\prime}(b)\right](b-a)$.
已知函数 $f(x)=\frac{2 x^2+a x-1}{e^x}$, 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处向切线方程为 $2 x+b y-1=0$.
(1) 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 求 $f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的最值.
已知函数 $f(x)=x^2-a x+2 \ln x, a \in R$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 已知 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 证明: $2 f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \geq-1-3 \ln 2$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}-2 a x(x \in \mathbf{R}), g(x)=\ln (x+1)-1$.
(1) 当 $a=-\frac{1}{2}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值;
(2) 若 $x \geqslant 0$ 时, $f(-x)+g(x) \geqslant 0$, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\ln (m x), m$ 是大于 0 的常数. 记曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ 处的切线为 $l$, $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $x_2, x_2>0$
(I) 当 $x_1=\frac{1}{e}, m=1$ 时求切线 $l$ 的方程;
(II) 证明: $\left|x_1-\frac{1}{m}\right| \geq\left|x_2-\frac{1}{m}\right|$.
已知函数 $f(x)=x \ln x-\frac{1}{2} a x^2(a>0)$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在定义域内为减函数, 求实数 $a$ 的取值范围;
(2)若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 证明: $x_1 x_2 < \frac{1}{a}$.
已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x+1}-a x, F(x)=\ln x$.
(1) 当 $a=1$ 时, 过点 $(1,0)$ 与函数 $f(x)$ 相切的直线有几条?
(2) 若 $f(x)=a F(x)$ 有两个交点, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=3 a-x-(x+1) \ln (x+1), g(x)=a^2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{2}(2-a) x^2-3 a x(x>-1)$, $1 \leqslant a \leqslant 6, g(x)$ 的导函数记为 $g^{\prime}(x)$, $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数, 约为 2.718 .
(1) 判断函数 $f(x)$ 的零点个数;
(2) 设 $x_1$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点, $x_2$ 是函数 $g(x)$ 的一个极值点, 证明:
(1) $-1 < x_2 < 1 < x_1$;
(2) $f\left(x_2\right) < g^{\prime}\left(x_1\right)$.
设函数 $f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
(I) 证明: 函数 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减;
(II) 求函数 $g(x)=f(x)+f(1-x)+a \sqrt{x(1-x)}(a \in R)$ 的值域.
已知函数 $f(x)=\ln x+x^2+\infty x+2$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线与直线 $2 x+3 y=0$ 垂直.
(1) 求 $a$;
(2) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值.
已知函数 $f(x)=e^x-\ln (x+m)-m(m \in \mathbf{R})$.
(1) 若 $m=1$, 求函数 $f(x)$ 的极值;
(2) 若 $f(x)$ 有两个零点, 求 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\ln x+a x-a^2 x^2(a \geq 0)$.
(1) 若 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点, 求 $a$ 的值;
(2) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间.