不等式15

数学

一、填空题（共 28 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 若不等式

| x - 1 | \leq 2

, 则

x

的取值范围是

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2. 已知

x > 0, y > 0

, 且

x + 2 y = 1

, 则

\frac{2 y}{x + 1} + \frac{1}{2 y}

的最小值为

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3. 若正数

x, y

满足

x^{2} + 4 y^{2} + x + 2 y = 1

, 则

x y

的最大值为

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4. 已知正实数

x, y

满足

x y + 2 x + 3 y = 42

, 则

x y + 5 x + 4 y

的最小值为

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5. 若

a > 2 b > 0

, 则

(a - b)^{2} + \frac{9}{b (a - 2 b)}

的最小值为

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6. 已知实数

a, b, c

满足

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1

, 则

a b + b c + 2 c a

的最大值为

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7. 非负实数

x

y

满足

x^{2} + 4 y^{2} + 4 x y + 4 x^{2} y^{2} = 32

, 则

\sqrt{7} (x + 2 y) + 2 x y

的最大值为

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8. 已知

x, y \geq 0, x + y \leq 1

, 求

4 x^{2} + 4 y^{2} + (1 - x - y)^{2}

的最小值

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9. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2, x \leq 1, \\ x + \frac{1}{x} - 1, x > 1, \end{cases}

则

f (f (\frac{1}{2})) =

; 若当

x \in [a, b]

时,

1 \leq f (x) \leq 3

, 则

b - a

的最大值是

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10. 设

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} 3 x - 2 y - 5 ⩽ 0, \\ x ⩾ 1, \\ y ⩽ 2, \end{cases}

则

z = - 2 x + y

的最小值为

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11. 已知正实数

a, b, c

满足

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

.
(1) 求

a + 4 b + 9 c

的最小值;
(2) 证明:

\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{a + c}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} ⩾ 2 \sqrt{a b c}

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12. 已知实数

a, b > 0

, 若

a + 2 b = 1

, 则

\frac{3}{b} + \frac{1}{a}

的最小值为

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13. 已知

f (x)

为

R

上的偶函数, 函数

h (x) = x^{2} f (x)

在

[0, + \infty)

上单调递增, 则不等式

(1 - x)^{2} f (1 - x) - (3 + x)^{2} f (3 + x) > 0

的解集为

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14. 若关于

x

的不等式

e^{x} (2 k - x) < x + 3

对任意的

x \in (0, + \infty)

恒成立, 则整数

k

的最大值为

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15. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} e^{- 2 x} - 1, x ⩽ 0 \\ \frac{1}{2} \ln (x + 1), x > 0 \end{cases}

, 若

x (f (x) - a | x |) ⩽ 0

, 则

a

的取值范围是

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16. 设

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} - 2 x + 3 y ⩽ 3 \\ 3 x - 2 y ⩽ 3 \\ x + y \geq 1 \end{cases}

, 设

z = 3 x + 2 y

, 则

z

的最大值

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17. 若

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x - 3 y ⩽ - 1 \\ x + 2 y ⩽ 9 \\ 3 x + y ⩾ 7 \end{cases}

, 则

z = 2 x - y

的最大值为

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18. 不等式

| x - 2 | < 1

的解集为

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19. 已知

x, y \in R

, 满足

5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1

, 求

x^{2} + y^{2}

的最小值

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20. 正实数

x, y

满足

\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 2

, 且不等式

x + \frac{y}{4} ⩾ m^{2} - m

恒成立, 则实数

m

的取值范围为

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21. 当

x \in [- 2, 1]

时, 不等式

a x^{3} - x^{2} + 4 x + 3 ⩾ 0

恒成立, 则实数

a

的取值范围是

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22. 已知

a > \frac{1}{2}, b > \frac{1}{3}, \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 7

, 则

\frac{3}{2 a - 1} + \frac{1}{3 b - 1}

的最小值

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23. 关于

x

的不等式

a x^{2} + (a + b) x + 2 > 0

的解集为

(- 3, 1)

, 则

a + b =

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24. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} | 2^{x} - 1 |, x \leq 1 \\ (x - 2)^{2}, x > 1 \end{cases}

, 关于

x

的方程

f^{2} (x) - a \cdot f (x) = 0

有六个不等的实根, 则实数

a

的取值范围是

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25. 已知实数

x, y

满足条件

{\begin{cases} y ⩽ x, \\ x + y ⩾ 1, \\ x ⩽ 1, \end{cases}

则

z = y - 2 x

的最小值是

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26. 已知

x, y > 0, x + 4 y - x y + 5 = 0

, 则

x y

的最小值为

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27. 若关于

x

的不等式

a x^{2} - 2 x + a ⩽ 0

在区间

[0, 2]

上有解, 则实数

a

的取值范围是

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28. 已知函数

f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}

, 若对任意实数

x

满足不等式

f (a x^{2}) \cdot f (- 2 x + 1) ⩾ 1

,则实数

a

的取值范围是

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